Un percorso matematico per le vie di Brescia

L'arbelo di Archimede

La superficie racchiusa in una bifora a tutto sesto rappresenta un caso particolare di una superficie costituita da tre semicirconferenze. che è stata oggetto di studio da parte di Archimede. A questa figura Archimede impose il nome di arbelo (il termine arbelo indicava il trincetto da calzolaio).

La costruzione di questa figura è semplice: si traccia una semicirconferenza di diametro AB, si prende un punto qualsiasi C su AB e si descrivono le due semicirconferenze che hanno per diametro AC e CB interne alla semicirconferenza iniziale.

Quale proprietà particolare ha questa figura? Se conduciamo dal punto C la perpendicolare al segmento AB, questa incontra la semicirconferenza maggiore nel punto D e l'area dell'arbelo è equivalente all'area della del cerchio di diametro CD. Verifichiamolo.

Se indichiamo con a la lunghezza di AC e con b quella di CB l'area S dell'arbelo è data dalla differenza tra l'area del semicerchio grande meno le aree dei semicerchi piccoli.

P align=justify>Indichiamo con c la lunghezza del segmento CD e tracciamo il triangolo ABD.

Questo triangolo è retto in D e DC rappresenta l'altezza relativa all'ipotenusa. Per il secondo teorema di Euclide si ha che l'altezza c è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa cioè c²=ab. Quindi l'area A del cerchio di diametro c è:

E come si può vedere le due aree sono equivalenti.