Un percorso matematico per le vie di Brescia

Tassellazioni non regolari con poligoni convessi

Consideriamo le tassellazioni con piastrelle tutte uguali con forma poligonale convessa non regolare (ricordiamo che un poligono è convesso se ogni lato (prolungato) lascia il poligono da una stessa parte, è concavo in caso contrario). Ebbene le tassellazioni di questo tipo sono infinite. Ad esempio:

• E' sempre possibile ricoprire un piano con piastrelle di qualunque forma quadrilatera convessa. Basta disporre opportunamente quattro piastrelle quadrangolari attorno a un vertice per ottenere la condizione che la somma degli angoli delle piastrelle che convergono in un vertice sia uguale a un angolo giro (ricordiamoci che nei quadrilateri la somma degli angoli interni è sempre di 360°).

  

• E' sempre possibile ricoprire un piano con piastrelle di forma triangolare. Accostando due piastrelle triangolari in modo da far combaciare due lati si forma una piastrella quadrangolare convessa che come abbiamo visto ricoprono sempre il piano.

  

• Non tutte le piastrelle di forma pentagonale convesse possono ricoprire un piano. Esistono solo alcuni tipi di pentagoni convessi in grado di saturare il piano. Ad esempio i pentagoni equilateri ma non equiangoli ricoprono il piano.

  

  Un altro tipo di pentagono irregolare che ricopre il piano ha due lati uguali che formano un angolo di 60° e due lati uguali che formano un angolo di 120°. Questi pentagoni ruotando intorno al vertice con l'angolo di 60° formano un poligono concavo. Questi poligoni concavi si "incastrano" perfettamente e tassellano il piano.

  
  

• Non tutte le piastrelle di forma esagonale convesse possono ricoprire un piano. Anche in questo caso esistono solo alcuni tipi di esagoni convessi in grado di saturare il piano. Ad esempio, tutti gli esagoni con i lati a due a due paralleli ricoprono il piano. Questi esagoni sono costituiti da due quadrilateri e hanno un centro di simmetria.

  

• Nessuna piastrella poligonale convessa con più di sei lati può ricoprire un piano.

Tra le tassellazioni non regolari con piastrelle tutte uguali è interessante quella che si ottiene con rombi aventi angoli di 60° e 120°. Colorando in modo diverso i tre rombi adiacenti si ottiene un effetto tridimensionale cioè, si ha la percezione di vederli come se fossero le facce di un cubo alternativamente interne o esterne. Tutto ciò fa sí che tutta la tassellazione venga percepita alternativamente concava o convessa.

Una pavimentazione di questo tipo si può osservare nella chiesa di Santa Maria della Pace o nel Duomo Nuovo.

Un'altra interessante tassellazione non regolare con piastrelle tutte uguali che crea un effetto tridimensionale si ottiene con esagoni concavi ognuno dei quali è costituito da due trapezi isosceli con gli angoli di 60° e 120°. Colorando in modo diverso i tre esagoni adiacenti si ha la percezione di vedere dei cubi parzialmente sovrapposti.

Una pavimentazione di questo tipo si può osservare nella chiesa di Santa Maria della Pace.