Un percorso matematico per le vie di Brescia

Arco perfetto

Abbiamo detto che l'arco a tutto sesto, scarica solo una parte del proprio peso verticalmente sui piedritti, il resto lo scarica orizzontalmente sui muri di sostegno. Anche l'arco a sesto acuto non scarica totalmente il proprio peso sui piedritti, però la spinta laterale che genera è minore di quella dell'arco a tutto sesto. Ora, è naturale che ci si ponga la domanda quale arco scarica totalmente il proprio peso solo verticalmente? Galileo Galilei (1564-1642) notò che una catenina (o una corda) flessibile sospesa alle sue estremità e soggetta solo alla forza di gravità assumeva la forma di una curva simmetrica simile a una parabola. Nella foto vediamo la curva descritta da una catena sospesa alle estremità in Corso Cavour.

Nel 1669 il matematico tedesco Joachim Jungius si accorse che questa curva in realtà non è una parabola e Christian Huygens (1629-1695) la chiamò catenaria. Come si può vedere dal grafico le due curve, almeno nella parte iniziale, sono quasi coincidenti.

Nel 1690 Jacob Bernoulli fu attratto da questa curva e su una rivista matematica pose il problema della determinazione della sua equazione. Un anno dopo Goffredo Leibniz (1646-1716), Johann Bernoulli, e Christian Huygens scoprirono la sua equazione. La catenaria capovolta forma un arco equilibrato perchè distribuisce lungo tutta la lunghezza in modo uniforme il proprio peso scaricandolo poi tutto verticalmente e quindi non ha bisogno nè di contrafforti nè di mura di supporto. Ciò vuol dire che con una catenaria rovesciata si ottiene la massima resistenza con il minimo di materiale. Questa curva rappresenta quindi la forma migliore che può assumere un arco per sostenere il proprio peso. La struttura catenaria è stata utilizzata nelle arcate dei ponti o negli archi degli edifici e non è facile individuarla per la sua somiglianza alla parabola.

Contrariamente a quanto si pensa nei ponti sospesi i cavi portanti non formano una catenaria ma una parabola. Perchè? Ai cavi portanti sono appesi i tiranti che sostengono il piano del ponte i quali alterano la forma della curva che non è più soggetta alla sola forza di gravità.

In città basta alzare gli occhi per vedere una catenaria, infatti le linee elettriche aeree descrivono questa curva. Ma se vogliamo ammirare in tutta la sua bellezza una catenaria a Brescia basta visitare la moderna chiesa parrocchiale Conversione di San Paolo in via San Polo.

Nella prossima fotografia sono stati individuati tre punti su una delle arcate interne alla chiesa ed è stata tracciata la parabola passante per quei punti. Come si vede la parabola non combacia perfettamente con l'arcata.