Un percorso matematico per le vie di Brescia

Movimenti

I movimenti rigidi che portano una figura nel piano su se stessa, come sappiamo, sono solo due: la riflessione rispetto a una retta e la rotazione intorno a un punto. Ma quanti sono i movimenti rigidi che portano una figura F nel piano a sovrapporsi perfettamente su una figura F' congruente a F e posta nel piano in una diversa posizione?

• Possiamo usare ancora la riflessione rispetto a una retta.

  

  I due triangoli sono simmetrici rispetto alla retta r che è esterna ai due poligoni ed è esattamente a metà distanza tra i due. Tutti i segmenti che congiungono punti corrispondenti sono perpendicolari alla retta r e hanno la stessa distanza da r. Per sovrapporre le due figure simmetriche dobbiamo operare un ribaltamento cioè "uscire" dal piano. Un ribaltamento cambia la faccia di una figura.

  
  

  Inoltre, i ribaltamenti cambiano la disposizione, oraria o antioraria, dei vertici cioè, cambiano l'orientamento di una figura.

• Possiamo usare ancora la rotazione attorno a un punto.

  

  I due triangoli ABC e A₁B₁C₁ si sovrappongono perfettamente mediante una rotazione oraria di 80°, rispetto al punto esterno O. Tutti i punti corrispondenti (A e A₁, B e B₁, C e C₁, ...) si trovano su circonferenze concentriche; inoltre, congiungendo punti corrispondenti con il centro O gli angoli sono tutti uguali nel nostro caso sono tutti di 80°.

Oltre a questi due tipi di movimenti, possiamo anche far "scivolare" o traslare una figura sul piano senza mai cambiar direzione, come è stato fatto alla finestra o al triangolo in figura.

Esaminiamo questo nuovo tipo di movimento.

I vertici del triangolo, ma anche tutti gli altri punti, "scorrono" su linee parallele. Inoltre, i segmenti che congiungono punti corrispondenti sono tutti della stessa lunghezza e i lati corrispondenti sono paralleli. Un movimento di questo tipo si chiama traslazione. Osservando i due triangoli ci rendiamo conto che per descrivere la traslazione che permette di portare il primo triangolo a sovrapporsi sull'altro è necessario conoscere la direzione (la retta individuata da due punti corrispondenti), il verso e l'ampiezza dello spostamento. Possiamo esprimere questi tre elementi di una traslazione con un segmento orientato detto vettore.

La retta alla quale appartiene il segmento orientato è la direzione, la freccia indica il verso e la lunghezza del segmento rappresenta l'ampiezza.

Immaginiamo di camminare con passo regolare sulla sabbia bagnata e guardiamo le impronte che abbiamo lasciato.

Le due orme di un passo sono uguali e quindi deve esserci un movimento rigido che permette di sovrapporle. Non può essere nè una rotazione nè una traslazione perchè un'orma è del piede sinistro e l'altra è del piede desto e non può essere neppure una riflessione. E' un altro movimento rigido chiamato glissoriflessione o glissosimmetria. Una glissoriflessione può essere ottenuta componendo una riflessione con una traslazione avente la stessa direzione dell'asse di riflessione.

Quando agiamo su una figura, con questi quattro tipi di movimenti, anche più volte, otteniamo come risultato finale lo spostamento della figura nel piano senza modificare alcuna caratteristica della figura come, ad esempio, la lunghezza dei lati o l'ampiezza degli angoli. Ricordiamo ancora che questi quattro movimenti sono detti rigidi perchè durante lo spostamento la figura non viene sottoposta ad alcuna deformazione e rimane dunque uguale a se stessa. I movimenti rigidi sono chiamati anche isometrie. La parola "isometria" significa "stessa misura": i movimenti rigidi conservano, infatti, le "misure" di una figura. Questi quattro tipi di movimenti, potendo essere eseguiti anche più volte uno di seguito all'altro, esauriscono i possibili movimenti rigidi.

Quando agiamo su una figura, con questi quattro tipi di isometrie, possiamo osservare cosa succede ai vertici della figura: se nella figura trasformata i vertici si leggono nello stesso senso si tratta di una isometria diretta se il senso di lettura dei vertici viene invertito si tratta di una isometria inversa. Possiamo quindi suddividere le isometrie in due categorie: traslazioni e rotazioni sono isometrie dirette, mentre riflessioni e glissoriflessioni sono isometrie inverse. C'è un'altra importante proprietà che distingue i quattro tipi di isometrie: l'avere o non avere punti uniti (un punto è detto unito se la sua posizione non viene modificata dalla isometria). Una traslazione (non identica) non ha punti uniti, una rotazione (non identica) ha un unico punto unito, un ribaltamento ha infiniti punti uniti, una glissoriflessione non ha punti uniti.

In base a tutto ciò possiamo riconoscere il tipo di simmetria quando conosciamo se la trasformazione ha punti uniti e se è diretta o inversa. Se l'isometria è diretta (e non è identica) e non ha punti uniti è una traslazione, se è diretta e ha un solo punto unito è una rotazione. Se l'isometria è indiretta e ha infiniti punti uniti è una riflessione, se è indiretta e non ha punti uniti è una glissoriflessione.