Un percorso matematico per le vie di Brescia

Simmetria assiale e rotazionale

Consideriamo il modello in figura:

Un triangolo equilatero di cartoncino (quello rosso) è libero di ruotare, su una base anch'essa di cartoncino, attorno al suo centro (nel quale c'è uno spillo). Sulla base abbiamo disegnato un triangolo equilatero (in verde) uguale a quello libero. Sovrapponiamo perfettamente i due triangoli. Ora, se facciamo ruotare, in senso orario, il triangolo equilatero rosso intorno ad O, vediamo che dopo un terzo di giro, cioè dopo un angolo di 120°, esso si sovrapporrà di nuovo al triangolo equilatero verde. Se continuiamo a far ruotare il triangolo equilatero rosso di un altro terzo di giro, vedremo che andrà nuovamente a sovrapporsi al triangolo equilatero verde. Infine con un'altra rotazione di 120° il triangolo equilatero rosso ritorna nella sua posizione iniziale. Ci sono, quindi, tre rotazioni in senso orario (120°, 240° e 360°) che riportano il triangolo equilatero su se stesso. Pertanto, il triangolo equilatero, oltre ad avere tre assi di simmetria ha anche tre simmetrie rotazionali.

Con un modello analogo per il quadrato:

Possiamo scoprire che ci sono quattro rotazioni in senso orario (90°, 180°, 270°, 360°) che riportano il quadrato su se stesso e quindi il quadrato possiede otto simmetrie distinte; quattro ribaltamenti e quattro rotazioni.

Proseguendo si scopre che la più piccola rotazione che porta un pentagono regolare su se stesso è di 360° : 5 = 72°

E quindi un pentagono regolare possiede dieci simmetrie distinte; cinque ribaltamenti e cinque rotazioni.

La minima rotazione che porta un esagono regolare su se stesso è di 360° : 6 = 60°

E quindi un esagono regolare possiede dodici simmetrie distinte; sei ribaltamenti e sei rotazioni.

In generale: un poligono regolare con n lati ha n ribaltamenti (rispetto agli n assi di simmetria) e n rotazioni che lo portano su se stesso e, quindi, possiede in totale 2n simmetrie. Possiamo anche dire che ci sono 2n movimenti rigidi che portano su se stesso un poligono regolare con n lati. Naturalmente, se un poligono con n lati non è regolare, il numero totale delle simmetrie è minore di 2n. Si può dimostrare che se un poligono ha un certo numero di assi di simmetria allora ha anche necessariamente lo stesso numero di rotazioni che lo portano su se stesso, ma non sempre è vero il contrario.