Un percorso matematico per le vie di Brescia

Simmetria assiale

Quando guardiamo contemporaneamente più oggetti, quello più simmetrico attira di più la nostra attenzione. L'oggetto simmetrico appare al nostro occhio ben proporzionato ed equilibrato perchè è costituito da parti uguali che si ripetono. L'idea di simmetria è sempre stata legata, fin dall'antichità, all'idea di armonia e di regolarità, quindi di bellezza. Per questo motivo anche nel mondo dell'architettura ritroviamo frequentemente strutture, moduli e motivi che si ripetono. Ad esempio, riuscite a vedere quali elementi si ripetono nella facciata di questo edificio?

Sono indicati con un colore alcuni elementi che si ripetono.

Un modulo può essere ripetuto con vari movimenti applicando opportune regole. Ci sono quindi diversi tipi di simmetria e diversi modi di essere simmetrico. Una figura piana è simmetrica se resta invariata in seguito a un movimento rigido che non determina alcuna deformazione e quindi conserva la forma, le distanze tra punti e l'ampiezza degli angoli. Alcune figure simmetriche sono costituite da due parti contrapposte che si corrispondono specularmente rispetto ad una retta detta asse di simmetria. In questo caso si parla di simmetria assiale o bilaterale o di riflessione perchè la figura torna su se stessa, torna cioè ad occupare esattamente la stessa posizione con un riflessione rispetto alla retta.

Un'attività tipica della matematica è quella di classificare gli "oggetti matematici" in base a una proprietà comune. Classifichiamo alcune figure geometriche in base agli assi di simmetria:

• Triangoli.

  1. I triangoli scaleni non hanno assi di simmetria;

  2. i triangoli isosceli hanno un solo asse di simmetria che passa per il vertice e il punto medio della base;

  3. i triangoli equilateri hanno tre assi di simmetria; i tre assi di simmetria passano per i vertici e per i punti medi dei lati opposti.

     
     

• Quadrilateri.

  1. I quadrilateri generici, i trapezi non isosceli e i parallelogrammi non hanno assi di simmetria.

     

  2. I trapezi isosceli e i deltoidi hanno un solo asse di simmetria.

     

  3. I rettangoli e i rombi hanno due assi di simmetria. Nei rettangoli gli assi di simmetria passano per i punti medi dei lati opposti, nei rombi passano per i vertici opposti.

     

  4. I quadrati hanno quattro assi di simmetria. I quadrati essendo sia rettangoli particolari sia rombi particolari "ereditano" gli assi di simmetria dei rettangoli e dei rombi.

     

Dalla classificazione dei triangoli e dei quadrilateri rispetto agli assi di simmetria emerge che piø "regolare" è la figura, più assi di simmetria possiede. Ad esempio, passando da un triangolo scaleno a un triangolo isoscele, si ha un asse di simmetria in più e passando da un triangolo isoscele a un triangolo equilatero si hanno due assi di simmetria in più. Un discorso analogo può farsi per i quadrilateri. Inoltre, se un triangolo ha assi di simmetria allora ne ha 1 o 3 (1 e 3 sono proprio i divisori di 3); se un quadrilatero ha assi di simmetria allora ne ha 1 o 2 o 4 (1, 2, 4 sono proprio i divisori di 4).

Se un esagono ha assi di simmetria, quanti ne può avere? Questo quesito geometrico è equivalente al quesito aritmetico: quali sono i divisori di 6? Sappiamo che i divisori di 6 sono 1, 2, 3 e 6. Ebbene, un esagono può avere un solo asse di simmetria, oppure 2 o 3 o 6 assi di simmetria. E naturalmente, ci sono esagoni senza assi di simmetria. Non esistono invece esagoni con 4 o 5 assi di simmetria (perchè nè 4 nè 5 sono divisori di 6).

Gli assi di simmetria di un esagono regolare (o più in generale di un poligono regolare con un numero pari di lati) sono di due tipi: gli assi passanti per i vertici opposti (in rosso) e quelli passanti per i punti medi di lati opposti (in azzurro).

Gli assi di simmetria di un pentagono regolare (o più in generale di un poligono regolare con un numero dispari di lati) passano per i vertici e per i punti medi dei lati opposti.

In generale un poligono regolare di n lati ha n assi di simmetria.

Tutte le figure che hanno uno o più assi di simmetria sono costituite dalla ripetizione di un modulo. Ad esempio:

il triangolo equilatero che ha tre assi di simmetria può essere costruito partendo da tre diversi tipi di moduli. Il primo modulo è uguale alla metà del triangolo equilatero e la regola per costruire l'intera figura è riflettere il modulo rispetto alla retta r.

Il secondo modulo è uguale a 1/3 del triangolo equilatero e la regola per costruire l'intera figura è riflettere il modulo rispetto alla retta r e poi riflettere il modulo appena ottenuto rispetto alla retta s.

Il terzo modulo è uguale a 1/6 del triangolo equilatero e la regola per costruire l'intera figura è riflettere il modulo rispetto alla retta s, poi riflettere il modulo appena ottenuto rispetto alla retta r, e infine riflettere sia il modulo di partenza sia i due moduli ottenuti precedentemente rispetto alla retta t.

Cosí iI quadrato che ha quattro assi di simmetria può essere costruito partendo da quattro diversi tipi di moduli.

Possiamo quindi pareagonare il modulo di una figura a un "mattone" attraverso il quale è possibile "costruire" l'intera figura. Inoltre, come si è visto, più assi di simmetria possiede una figura più è piccolo il rapporto fra l'area del modulo e l'area della figura.