Un percorso matematico per le vie di Brescia

Composizione di simmetrie

Rispetto alla composizione delle simmetrie le figure si possono classificare in due categorie: figure con simmetria ciclica o figure con simmetria diedrale.

• Figure con simmetria ciclica:
  
  Le figure con simmetria ciclica sono quelle che tornano su se stesse solo con un certo numero di rotazioni e vengono indicate con il simbolo C_n dove n rappresenta il numero delle rotazioni che porta la figura su se stessa. Ad esempio, la figura:

  

  Torna su se stessa solo con le quattro rotazioni di 90°, 180°, 270°, 360° intorno al punto O per cui ha simmetria ciclica C₄.
  
  Possiamo facilmente verificare che la nostra figure con simmetria ciclica C₄ possiede le seguenti proprietà:

  • Chiusura rispetto alla composizione.
    
    Componendo due rotazioni una di seguito all'altra il risultato finale è ancora una delle quattro rotazioni pertanto, l'insieme delle quattro rotazioni è chiuso rispetto alla rotazione. Ad esempio, se facciamo prima una rotazione di 270° e poi di seguito una di 180° il risultato finale equivale a una rotazione di 90°.

  • Identità.
    
    La rotazioni di 360°, detta identità, non cambia nulla e ha la stessa funzione dello zero nell'addizione (0 + 4 = 4) o dell'uno nella moltiplicazione (1 x 3 = 3).

  • Inversa.
    
    Ogni rotazione ha la sua inversa, cioè la rotazione che porta la figura nella sua posizione di partenza. Ad esempio, se facciamo prima una rotazione di 90° e poi una rotazione di 270° la figura torna nella sua posizione iniziale per cui la rotazione di 270° è l'inversa della rotazione di 90°.

  • Proprietà associativa
    
    Le rotazioni soddisfano la proprietà associativa. Se indichiamo con r₁ la rotazione di 90°, con r₂ la rotazione di 180°, con r₃ la rotazione di 270° e con r₀ la rotazione di 360° e ad esempio componiamo le tre rotazioni r₁, r₂, r₃ vale l'uguaglianza:

    (r₁ + r₂) + r₃ = r₁ + (r₂ + r₃)

    dove il segno + indica la composizione tra due rotazioni.

  Queste quattro proprietà (chiusura, identità, inversa, associatività) non valgono solo per la figura che abbiamo preso in considerazione ma valgono per tutte le figure che hanno simmetria ciclica C₄ come ad esempio la seguente figura

  

  E in generale, tutte le figure con simmetria ciclica C₄ hanno le stesse proprietà e si dice che hanno la stessa struttura che viene indicata con il nome: gruppo ciclico di ordine 4.
  
  Ora, consideriamo la figura:

  

  Questa figura torna su se stessa solo con le cinque rotazioni 72°, 144°, 216°, 288°, 360° intorno al punto O per cui ha simmetria ciclica C₅. Anche per questa figura si possono fare le stesse considerazioni fatte per quella precedente e quindi tutte le figure con simmetria ciclica C₅ hanno la stessa struttura quella del gruppo ciclico di ordine 5.
  
  S'intuisce che ci sono figure simmetriche con simmetria ciclica C₂, C₃, C₄, ..., C_n dove n è un numero intero positivo che, come è già stato detto, rappresenta il numero delle rotazioni che porta la figura su se stessa. Ci sono quindi, infiniti gruppi ciclici.
  
  Tra i gruppi ciclici c'è anche il gruppo ciclico C₁ che è quello delle figure asimmetriche che tornano su se stesse con una rotazione di 360°. Sembra una contraddizione ma questa scelta è un pò simile a quella di considerare lo zero come un numero a tutti gli effetti.

• Simmetria Diedrale:
  
  Le figure con simmetria diedrale sono quelle che tornano su se stesse con n riflessioni e n rotazioni (il numero delle riflessioni è sempre uguale al numero delle rotazioni) e vengono indicate con il simbolo D_n dove n rappresenta il numero delle riflessioni e il numero delle rotazioni.
  
  Ad esempio, la figura:

  

  Ha simmetria diedrale D₄ perchè torna su se stessa con 4 riflessioni e 4 rotazioni. Per tutte le figure con simmetria diedrale D₄ valgono le quattro proprietà viste per la simmetria ciclica e quindi hanno tutte la struttura di gruppo di ordine 8, in quanto sono esattamente 8 i movimenti che portano la figura su se stessa.
  
  Un poligono regolare di n lati ha simmetria diedrale D_n.
  
  Ogni figura con simmetria diedrale D_n può essere costruita inserendo il più piccolo modulo della figura tra due specchi uniti che formano un angolo di 360° : n.
  
  Naturalmente ci sono figure con simmetria diedrale D₁, D₂, D₃, ..., D_n dove n è un numero intero positivo. Ci sono quindi, infiniti gruppi diedrali.

In generale, qualunque disegno o figura geometrica piana può essere classificata rispetto alla composizione di simmetrie e quindi costituire un gruppo ciclico oppure un gruppo diedrale. Ad esempio, i tipi di quadrilateri possono essere classificati in sette gruppi di simmetria.

• Il quadrato, costituisce un gruppo diedrale D₄.

• Il rombo, costituisce un gruppo diedrale D₂. Ciascun asse di simmetria passa per due vertici opposti.

• Il rettangolo, costituisce un gruppo diedrale D₂. Ciascun asse di simmetria passa per i punti medi di due lati opposti.

• Il parallelogrammo, costituisce un gruppo ciclico C₂.

• Il deltoide, costituisce un gruppo diedrale D₁. L'asse di simmetria passa per due vertici opposti.

• Il trapezio isoscele, costituisce un gruppo diedrale D₁. L'asse di simmetria passa per i punti medi delle due basi.

• Il quadrilatero asimmetrico, costituisce un gruppo ciclico C₁.

Un rombo e un rettangolo (oppure un trapezio isoscele e un deltoide) pur costituendo lo stesso gruppo di simmetria rappresentano due forme diverse di quadrilateri perchè presentano una diversità rispetto al tipo di asse di simmetria. Nel rombo ciascuna riflessione fissa due vertici e scambiano tutti i lati, nel rettangolo ciascuna riflessione fissa due lati e scambiano tutti i vertici.