Un percorso matematico per le vie di Brescia

La tassellazione come forma d'arte

Se togliamo i vincolo sulla convessità o sulla regolarità delle piastrelle si possono creare con un pò di fantasia infinite e gradevole tassellazioni. Ecco alcune tassellazioni ottenute con il computer partendo da un quadrato.

L'artista olandese Mauritis Corneli Escher (1898-1972) ha utilizzato le tassellature del piano per creare suggestivi disegni periodici in cui uccelli, pesci, insetti, cavalieri, e altre figure si incastrano perfettamente e si ripetono con un'isometria riempendo tutto il foglio del disegno. Escher con la sua abilità di grafico è riuscito a trasformare figure poligonali in figure di animali e giocando con le riflessioni, con le traslazioni, con le rotazioni e con glissoriflessioni ha tassellato il piano. Nei suoi disegni periodici combinando il colore, la forma, la geometria e la simmetria ha messo in evidenza quel sottile legame profondo tra la matematica e l'arte.

Ad esempio, ha trasformato la seguente tassellazione di poligoni

in una tassellazione di pesci.

La seguente tassellazioni di parallelogrammi

in una tassellazione di uccelli blu e bianchi che fanno da sfondo gli uni agli altri.

Vediamo come si può creare un disegno periodico con la sagoma di un cane partendo da un quadrato. Dividiamo il quadrato in tre parti con con delle semplici linee. Trasliamo poi due di queste parti sui lati opposti fuori dal quadrato iniziale senza creare sovrapposizioni in modo da abbozzare la sagoma di un cane. Il quadrato iniziale e la sagoma del cane sono equivalenti perchè sono costituite dalle stesse tre parti senza sovrapposizioni.

Una volta ottenuta, dopo alcuni tentativi, la sagoma del cane che più ci soddisfa cerchiamo di coprire totalmente il piano con questa sagoma utilizzando un'opportuna isometria. Nel nostro caso le due parti tolte al quadrato iniziale e quelle aggiunte esternamente al quadrato sui lati opposti si incastrano perfettamente senza sovrapposizioni e lacune con ripetute traslazioni in due direzioni ortogonali.

Ecco un altro esempio per ottenere una tassellazione con sagome di uccelli partendo da un triangolo equilatero.