Un percorso matematico per le vie di Brescia

Arco semiellittico

Nello stile barocco, in alcuni casi, l'arco policentrico a tre centri è sostituito con un arco semiellittico, cioè con un arco che è la metà di un'ellisse. Spesso è difficile distinguere un arco policentrico a tre centri con un arco semiellittico. Per rendervi conto di ciò osservate le due figure.

Nella prima figura c'è un arco policentrico nella seconda un'intera ellisse per mettere in evidenza che non è un arco policentrico. I due archi hanno la stessa luce e la stessa freccia. Notate la differenza tra i due archi? Ecco cosa succede se li sovrapponiamo.

Come vedete abbiamo aumentato la luce e diminuito i raggi delle due circonferenze uguali per poter mettere in evidenza la piccola differenza fra i due archi. Solo un occhio molto esperto riesce a distinguerli.

Possiamo ottenere un'ellisse utilizzando il modello del cordino annodato e teso tra due chiodini. Con questo modello l'ellisse è costruita come il luogo dei vertici di triangoli isoperimetrici di ugual base. In altre parole, possiamo dire che tutti i punti dell'ellisse hanno una specifica proprietà: per ogni punto dell'ellisse è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi. Nel nostro modello è costante la somma dei due lati del triangolo tesi dai due chiodini (il terzo lato resta fisso) che rappresenta la distanza fra i due fuochi.

Ora, come si può vedere dalla figura successiva, in cui sono sovrapposti i due archi, i due fuochi F e F' non coincidono con i centri delle due circonferenze e sicuramente i punti delle due curve non possono avere la stessa proprietà.

Come possiamo renderci conto se un arco è policentrico o semiellittico? Bisogna utilizzare una proprietà dell'ellisse scoperta da Blaise Pascal (1623-1662) quando aveva appena sedici anni e che chiamò teorema dell'esagramma mistico. Se un esagono piano ABCDEF è inscritto in un'ellisse, allora le rette passanti per le coppie di lati opposti AB e DE, BC e EF, CD e FA si intersecano in tre punti allineati. La retta che passa per questi tre punti è chiamata retta di Pascal.

I sei punti sull'ellisse possono essere disposti come vogliamo non c'è nessun vincolo. Possiamo allora disporli tutti sulla semiellisse.

Ora, come si vede dalla figura, applicando lo stesso procedimento a un arco policentrico con tre centri i tre punti non sono allineati.