Un percorso matematico per le vie di Brescia

Costruzione approssimata di una spirale di Archimede

Osserviamo una spirale di Archimede con passo 1 in un riferimento cartesiano. Che cosa notiamo?

La spirale interseca l'asse delle x positivo nei punti:

1; 2; 3; 4; 5; 6;...

interseca l'asse delle y positivo nei punti:

0,25; 1,25; 2,25; 3,25; 4,25; 5,25; 6,25;...

interseca l'asse delle x negativo nei punti:

-0,5; -1,5; -2,5; -3,5; -4,5; -5,5; -6,5; ...

interseca l'asse delle y negativo nei punti:

-0,75; -1,75; -2,75; -3,75; -4,75; -5,75; -6,75; ...

Le distanze di queste intersezioni, dall'origine degli assi, formano quattro successioni di numeri crescenti tali che ogni numero della successione si ottiene dal numero precedente sommandogli 1. La differenza di due numeri consecutivi è quindi costante e viene chiamata ragione della successione. Una successione numerica di questo tipo viene detta progressione aritmetica di ragione 1. Naturalmente, per questa spirale di Archimede tutte le misure dei raggi vettori che appartengono a una stessa semiretta avente origine nel polo della spirale costituiscono una progressione aritmetica di ragione 1. In generale possiamo dire che ogni spirale di Archimede è strettamente legata a una determinata progressione aritmetica del tipo

a, a + b, a + 2b, a + 3b, a + 4b, ...

dove a e b sono due numeri reali (nel nostro caso b rappresenta il passo della spirale cioè l'incremento). Da quanto detto si intuisce che tutte le spirali di Archimede si possono ottenere da quella di passo 1 semplicemente ingrandendola o rimpicciolendola di un fattore di scala a piacere. Infatti, se cambiamo il fattore di scala, aumenta o diminuisce il passo della spirale. In pratica, ingrandire una spirale di Archimede significa far muovere, con una velocità uniforme più elevata, il punto sulla semiretta che ruota con velocità uniforme intorno all'origine.