Un percorso matematico per le vie di Brescia

Simmetria rotazionale

Una figura può tornare su se stessa anche con un altro tipo di movimento: una rotazione attorno a un punto (centro di rotazione). Ogni figura torna su se stessa con una rotazione di 360° rispetto a un qualsiasi punto. Ad esempio, la seguente figura:

Torna su se stessa con una rotazione di 360° attorno al punto O.

Se, però, una figura torna su se stessa anche con una rotazione diversa da quella di 360° rispetto a un punto diremo che ha una simmetria rotazionale. Ad esempio, la figura:

Torna su se stessa anche con una rotazione di 180° attorno al punto O.

Ad esempio, le simmetrie rotazionali che portano l'esagono in figura su se stesso sono tre: le rotazioni in senso orario di 120°, 240° e 360° attorno al punto O (sono le stesse rotazioni che portano in sè il triangolo equilatero tratteggiato).

La rotazione di 360° è detta rotazione banale perchè equivale, a non muovere affatto la figura cioè, a mantenere immobile la figura o a ruotarla di 0°. Per questo motivo la rotazione di 360° viene detta identità. Con una rotazione (che non sia l'identità) tutti i punti della figura cambiano posizione, tranne uno: il centro di rotazione.

Consideriamo il modello in figura:

Il parallelogramma ritorna su se stesso con una rotazione di 180° rispetto al punto O. Quando una figura ritorna su se stesso con una rotazione di 180° rispetto ad un punto O si dice che O è il centro di simmetria della figura. Un triangolo equilatero non ha centro di simmetria, anche un pentagono regolare non torna su se stesso con una rotazione di 180° rispetto al suo centro (punto di intersezione degli assi dei lati) e quindi non ha centro di simmetria. Più in generale un poligono con un numero dispari di lati non ha mai centro di simmetria.

Tutte le figure che hanno due o più simmetrie rotazionali sono costituite dalla ripetizione di un modulo che riproduce l'intera figura mediante rotazioni intorno a un punto. Ad esempio, qual è il modulo che riproduce l'esagono in figura?

La figura avendo tre simmetrie rotazionali è costituita da un modulo che riproduce l'intera figura con tre successive rotazioni di 120° intorno al punto O.

Il numero di rotazioni necessarie per riportare una figura nella posizione di partenza è detto ordine di simmetria. Ad esempio, se una figura torna su se stessa con le rotazioni di 120°, 240°, 360° rispetto al centro di rotazione allora ha una simmetria rotazionale di orine 3.