Un percorso matematico per le vie di Brescia

Arco a tutto sesto e un arco gotico equilatero

Consideriamo un arco a tutto sesto di data luce e indichiamo con f, r e l rispettivamente le misure della freccia, del raggio di curvatura e della luce.

La freccia e il raggio di curvatura sono uguali e sono la metà della luce. La superficie racchiusa dall'arco (si considera solo il semicerchio) è quindi:

Manteniamo costante la misura della luce e consideriamo ora l'arco a sesto acuto equilatero, e vediamo come variano il raggio, la freccia e la superficie dell'arco in funzione della misura della luce.

Nell'arco a sesto acuto equilatero il raggio è uguale alla luce (r = l), mentre la freccia non è altro che l'altezza del triangolo equilatero che ha per lato l e quindi applicando il teorema di Pitagora, è uguale a:

L'area dell'arco è uguale all'area del settore circolare, (la parte colorata in rosa) più l'area del segmento circolare (la parte colorata in verde). Come si vede dalla figura l'angolo del settore circolare è di 60° (in un triangolo equilatero gli angoli interni sono tutti di 60°), cioè è 1/6 dell'angolo giro e quindi l'area del settore circolare è uguale a 1/6 di quella del cerchio avente per raggio l.

Sempre osservando la figura si vede che l'area del segmento circolare è data dall'area del settore circolare meno l'area del triangolo equilatero. Dato che il triangolo equilatero ha per base l e per altezza f si ha:

Pertanto, l'area dell'arco a sesto acuto equilatero è uguale a:

Il rapporto tra la superficie dell'arco a sesto acuto equilatero e quella dell'arco a tutto sesto è quindi:

In altre parole, l'arco a sesto acuto equilatero, a parità di luce, ha una superficie di 1,54 volte maggiore di quella dell'arco a tutto sesto.