Tassellazioni e camera di specchi

Consideriamo una delle pavimentazioni presente nel Duomo in piazza Paolo VI

e sovrapponiamo a questa pavimentazione un reticolo a maglie quadrate.

Vediamo questa sovrapposizione riprodotta con un programma di grafica.

Che cosa osserviamo? Un modulo quadrato (costituito da due pentagoni e due quadrati) che si ripete.

La ripezione del modulo avviene mediante riflessioni rispetto alle quattro rette che contengono i lati del modulo insieme a tutte le isometrie che si ottengono per composizione delle quattro riflessioni. Ricordiamoci che componendo due riflessioni rispetto a rette parallele si ottiene una traslazione e componendo due riflessioni rispetto a rette incidenti si ottiene una rotazione. Nel nostro caso il vettore delle traslazioni hanno direzione parallela ai lati del modulo e lunghezza doppia del lato e le rotazioni sono di 180° intorno ai vertici del modulo e dei moduli riflessi.

Possiamo ottenere la pavimentazione usando degli specchi? Sí, occorrono quattro specchi disposti perpendicolarmente rispetto al modulo in modo da formare una camera di specchi a forma di quadrato.

Inserendo il modulo all'interno della camera di specchi i nostri occhi vedranno oltre al modulo tutte le immagini riflesse che insieme danno la sensazione di vedere la pavimentazione. In altre parole, la camera di specchi funziona come un caleidoscopio e genera immagini multiple simmetriche per riflessioni e rotazioni della figura inserita al suo interno.

Una camera di specchi è un prisma senza le due basi e ogni superficie interna è uno specchio che riflette le altre superficie interne che a loro volta sono degli specchi. Il poligono di base di una camera di specchi può avere varie forme ma per ottenere una pavimentazione è necessario che gli angoli fra gli specchi siano sottomultipli di un angolo piatto. Con questa limitazione i possibili poligoni di base di una camere di specchi possono avere solo la forma di: triangolo equilatero, triangolo rettangolo isoscele, triangolo rettangolo con angoli di 30° e 60°, rettangolo, quadrato. Utilizzando queste camere di specchi si possono visualizzare solo le tassellazioni che presentano una simmetria diedrale, cioè le tassellazioni che tornano su se stesse sia con simmetrie rotazionali sia con simmetrie di riflessioni. In tutto le tassellazioni che possono essere riprodotte in una camera di specchi sono solo sette dei diciasette schemi che abbiamo visto.