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Composizione di isometrie

I movimenti fondamentali che permettono di sovrapporre due figure uguali senza alterarne la forma e le dimensioni sono dunque solo di quattro tipi: traslazioni, rotazioni, ribaltamenti e glissoriflessioni. Date due figure uguali, comunque posizionate nel piano, si possono sovrapporre operando con un unico movimento fondamentale perchè la composizione di due isometrie è ancora un'isometria. Le isometrie formano, quindi, un insieme chiuso rispetto all'operazione di composizione. Per composizione di due isometrie si intende che bisogna eseguire prima una isometria e poi l'altra, applicandola al risultato della prima. Vediamo alcuni esempi che ci possono essere di aiuto per capire che componendo due isometrie si ottenga un'altra isometria:

• Componendo due traslazioni si ottiene ancora una traslazione. Le traslazioni formano, quindi, un insieme chiuso rispetto all'operazione di composizione.

  

  Il risultato delle due traslazione è indipendente dall'ordine con cui vengono eseguite. Ciò significa che la composizione di due traslazioni è un'operazione commutativa.

• Componendo due riflessioni rispetto a rette parallele si ottiene una traslazione di vettore perpendicolare ai due assi e di lunghezza uguale al doppio della distanza tra i due assi. Le riflessioni non formano, quindi, un insieme chiuso rispetto all'operazione di composizione rispetto a rette parallele.

  

  La composizione di due riflessioni rispetto a rette parallele non è commutativa, cioè scambiando l'ordine con cui eseguiamo le due riflessioni cambia anche il risultato finale.

• Componendo due riflessioni rispetto a rette incidenti si ottiene una rotazione, intorno al punto di intersezione tra le due rette incidenti, con un angolo di ampiezza uguale al doppio dell'angolo formato dalle due rette. Le riflessioni non formano, quindi, un insieme chiuso rispetto all'operazione di composizione rispetto a rette incidenti.

  

  Anche la composizione di due riflessioni rispetto a rette incidenti non è commutativa, perchè si ottiene un risultato diverso a secondo di quale riflessione viene eseguita per prima.

• Componendo due rotazioni di stesso centro si ottiene ancora una una rotazione. Le rotazioni formano, quindi, un insieme chiuso rispetto all'operazione di composizione di stesso centro.

  

  Il risultato delle due rotazioni è indipendente dall'ordine con cui vengono eseguite.

• Componendo due rotazioni di centro diverso non è in generale una rotazione potrebbe essere una traslazione. Le rotazioni non formano, quindi, un insieme chiuso rispetto all'operazione di composizione di centro diverso.

  

  In generale la composizione di due roazioni in senso orario e centri diversi dà come risultato una traslazione tutte le volte che la somma delle ampiezze delle rotazione è di 360°.

• Componendo due glissoriflessioni rispetto allo stesso asse di riflessione si ottiene una traslazione.

  

• Componendo una traslazione con una rotazione si ottiene una rotazione.

  
  

L'insieme delle isometrie, rispetto alla composizione, oltre ad essere chiuso ha l'elemento neutro, ha l'inverso per ogni suo elemento e vale la proprietà associativa. Possiamo quindi, dire che le isometrie piane formano un gruppo non commutativo. Invece, l'insieme delle traslazioni formano un gruppo commutativo che è un sottogruppo del gruppo delle isometrie. Inoltre, l'insieme delle isometrie dirette (traslazioni e rotazioni) formano un gruppo non commutativo che è un sottogruppo delle isometrie.