Un percorso matematico per le vie di Brescia

Leonardo da vinci e l'arco a tutto sesto

Leonardo da Vinci (1452-1519) fu un artista, un ingegnere, uno scienziato e un inventore ed è considerato uno dei personaggi più illustri del rinascimento italiano. Riuscí a conciliare la sua creatività artistica con la ricerca scientifica sperimentale. Fu allievo e collaboratore di Andrea del Verrocchio, le sue opere pittoriche hanno destato stupore e ammirazione per la straordinaria capacità di conferire, attraverso un sapiente utilizzo delle gradazioni del chiaroscuro, movimento ed espressività alle immagini. Le sue opere La Gioconda, La Vergine delle rocce, Ritratto di nobildonna con l'ermellino, L'ultima cena, Annunciazione sono famose in tutto il mondo.

Riflettono una profonda conoscenza sia del corpo umano sia della prospettiva. Leonardo da Vinci aveva una vivace curiosità verso i più disparati campi della conoscenza. Si interessò di meccanica, di idraulica, di anatomia, di matematica e di architettura. Amava osservare direttamente gli animali e la natura per cogliere le leggi che ne regolano il funzionamento e inventare possibili applicazioni. Dall'osservazione sulla dinamica del volo degli uccelli progettò ali artificiali e congegni in grado di muoverle. Divenne un esperto in fortificazioni militari e progettò molte macchine da guerra come la bombarda a mitragliera e un carro armato. I suoi studi di anatomia lo portarono a disegnare e a illustrare con molto realismo le ossa, i muscoli, le arterie, le vene e i vari organi del corpo umano.

Si interessò anche di matematica, scoprí un modo diverso per dimostrare il teorema di Pitagora e illustrò con magnifici disegni i poliedri nel libro De Divina Proporzione del matematico Luca Pacioli.

Leonardo da Vinci si interessò e studiò gli archi a tutto sesto. Fu il primo a rilevare esplicitamente il concetto di spinta. Per Leonardo l'arco è una fortezza derivata da due debolezze. Arriva a questa conclusione con il seguente ragionamento. L'arco è composto da due quarti di circonferenza, ognuno dei quali è debolissimo perchè da solo non è in grado di reggersi e quindi per sua natura tenderebbe a cadere. Però, questi due quarti di circonferenza opponendosi l'uno all'altro nella caduta, trasformano le loro debolezze in un'unica fortezza. Nei codici di Madrid disegna le possibili rotture di un arco a tutto sesto quando è soggetto a particolari carichi. In particolare, afferma che se un arco è caricato nel suo punto medio con un peso maggiore della sua resistenza allora si romperà in ciascun quarto della sua lunghezza.

Da questo suo studio intuisce una regola empirica per evitare queste possibili fratture di un arco: se la corda della semicirconferenza esterna, che ha per estremi rispettivamente l'inizio e il punto medio della semicirconferenza, non tocca la semicirconferenza interna, allora l'arco non si romperà.

Con questa regola Leonardo permette di stabilire quale spessore devono avere i conci affinchè l'arco non sia soggetto a fratture.

Se due circonferenze hanno la stesso centro e diverso raggio si dicono concentriche. Tracciamo due circonferenze concentriche e consideriamo le corde della circonferenza più esterna che siano anche tangenti alla circonferenza più interna.

Quante di queste corde possiamo tracciare? Una per ogni punto della circonferenza interna e quindi in totale possiamo tracciare infinite corde di questo tipo. In questo insieme infinito di corde c'è una corda più lunga delle altre?

No! Tutte le corde sono tra loro congruenti. Infatti essendo tangenti alla circonferenza più interna hanno la stessa distanza dal centro O e i raggi OE e OF essendo perpendicolari alle corde le incontrano nel loro punto medio. Possiamo allora concludere che i triangoli rettangoli OEB e OFD sono uguali e sono uguali anche i triangoli rettangoli OEA e OFC e quindi le due corde sono uguali. Lo stesso ragionamento può essere fatto per tutte le altre corde.

C'è anche un'altra interessante caratteristica: il cerchio che ha per diametro questa corda ha la stessa area della corona circolare formata dalle due circonferenze concentriche.

Se indichiamo con R il raggio del cerchio esterno della corona circolare e con r il raggio del cerchio interno della corona circolare, l'area della corona circolare sarà data da:

Se indichiamo con r₁ il raggio del cerchio che ha per diametro la corda tangente al cerchio interno della corona circolare, l'area di tale cerchio sarà data da:

Osservando la figura si nota che i tre raggi formano un triangolo rettangolo.

Apllicando il teorema di Pitagora si ha: