Un percorso matematico per le vie di Brescia

Spirali poligonali

Consideriamo un triangolo equilatero e tracciamo l'altezza relativa alla base. Il triangolo iniziale verrà cosí diviso in due triangoli rettangoli con gli angoli acuti di 30° e 60°. Questi triangoli rettangoli hanno il cateto minore uguale alla metà dell'ipotenusa e il cateto maggiore uguale al cateto minore per la radice di tre. Ad esempio, se l'ipotenusa è uguale a 2 il cateto minore è uguale a 1 e il cateto maggiore è uguale a √3.

Queste due relazioni valgono per tutti i triangoli rettangoli simili con gli angoli di 30° e 60°. Ora, se noi consideriamo un triangolo rettangolo con gli angoli di 30° e 60° e con l'ipotenusa uguale a 2 e operiamo su questo triangolo con una serie di similitudini composte da una rotazione di 30° e da un'omotetia di coefficiente √3/2 ≅ 0,866 entrambe con centro nel vertice con l'angolo di 30° otteniamo una spirale logaritmica poligonale.

Se consideriamo le ipotenuse di questi triangoli rettangoli possiamo scrivere le seguenti proporzioni continue:

Se consideriamo la somma dei cateti minori otteniamo la seguente progressione geometrica:

Otteniamo la stessa progressione geometrica moltiplicata per 2 se sommiamo le ipotenuse dei triangoli.

Ora, la prima progressione geometrica ha infiniti termini e quindi sembra che il risultato di questa somma sia un valore infinitamente grande. Non è cosí, il suo valore è un numero finito. Perchè? Il termine √3/2 ≅ 0,866 è minore di 1 e quindi le sue potenze crescenti hanno un valore sempre più piccolo.

Quando l'esponente è molto grande il valore della potenza sarà cosí piccolo da non influenzare la somma della progressione geometrica. E' stato dimostrato che il valore di questa progressione è uguale a:

Siamo partiti da un triangolo rettangolo particolare perchè era più facile, poi, determinare i valori dei lati degli altri triangoli rettangoli simili che costituivano la spirale poligonale e questo ci ha permesso di mettere in evidenza, senza fare calcoli complicati, la proporzionalità geometrica dei raggi vettori. Naturalmente, possiamo utilizzare un qualsiasi triangolo e applicare lo stesso procedimento. Ad esempio, nella seguente figura è stato utilizzato un triangolo rettangolo con gli angoli acuti di 18° e 72°.

Osservate che più è piccolo l'angolo acuto minore del triangolo rettangolo più la spezzata si avvicina alla spirale logaritmica.

Consideriamo un triangolo aureo con i lati congruenti uguali a 1 e con la base uguale a:

Operando su questo triangolo, con una serie di similitudini composte da una rotazione di 72° e da un'omotetia di coefficiente 1/φ entrambe con centro nel vertice con l'angolo di 72° otteniamo una spirale logaritmica poligonale aurea.