Un percorso matematico per le vie di Brescia

Frattali

Il grande fascino di un abete è che ogni suo ramo è quasi simile all'intero albero e ogni singolo rametto è a sua volta simile al proprio ramo. Nella struttura dell'abete c'è quindi una ripetizione della forma. In natura queste forme ripetitive si riscontrano con una certa frequenza. Un fulmine, una felce, una insenatura, una costa frastagliata, i nostri polmoni, il nostro sistema venoso, il delta di un grande fiume, il profilo di una catena montuosa, un cavolfiore, un fiocco di neve, sono tutti oggetti auto-simili.

Il matematico Benoit Mandelbrot ha coniato per questi oggetti la parola frattali che deriva dal latino fractus che significa irregolari, frastagliati. Infatti, tutti gli oggetti auto-simili menzionati hanno una forma ramificata, irregolare o frastagliata. In pochi anni si è sviluppata una geometria frattale che cerca di studiare e di comprendere le forme geometriche esistenti in natura. Gli oggetti frattali sono molto complessi anche se sono generati dall'iterazione di semplici figure euclidee. Ad esempio, il fiocco di neve di Koch si ottiene partendo da un triangolo equilatero.

Questi oggetti frattali possono essere realizzati con il computer utilizzando opportuni algoritmi. Con il computer sono state ottenute, grazie alla geometria frattale, scenografie virtuali, montagne, nuvole, fiumi, alberi, pianeti e foglie. Sono state generate anche nuove figure molto strane con vivaci colori. La spirale logaritmica, come abbiamo già detto, è una figura auto-simile e quindi non deve meravigliare che molte di queste figure frattali un pò strane siano costituite o formano spirali logaritmiche.

La geometria frattale, nata agli inizi del XX secolo come un gioco o come una semplice curiosità di pochi matematici, sta assumendo un ruolo sempre più importante in moltissimi campi della scienza. E' diventata indispensabile per capire i sistemi dinamici e i sistemi caotici. Un fenomeno caotico sembra imprevedibile perchè ogni piccolissimo mutamento determina una situazione nuova completamente diversa da quella precedente. Piccolissime differenze nelle condizioni iniziali determinano grandissime variazioni nella situazione finale. Pensate alla meteorologia e a tutti i possibili cambiamenti climatici che si possono verificare mutando di poco la temperatura, la pressione dell'aria, la velocità dei venti, l'umidità, l'inquinamento. Eppure, esistono delle simulazioni matematiche che permettono di fare una previsione sulle condizioni del tempo molto attendibile.