Un percorso matematico per le vie di Brescia

Frattali

Il fascino di un abete sta nel fatto che ogni suo ramo riproduce, in piccolo, la forma dell'intero albero, e ogni singolo rametto richiama a sua volta la struttura del ramo da cui nasce. E' come se la stessa forma si ripetesse più volte, a scale diverse, creando un disegno naturale che si rinnova continuamente.

Questa ripetizione della forma non è un caso isolato: in natura le strutture autosimili compaiono con sorprendente frequenza. Un fulmine che si dirama nel cielo, una felce che si apre in fronde sempre più piccole, una costa frastagliata con le sue insenature, ma anche i nostri polmoni, il sistema venoso, il delta di un grande fiume, il profilo di una catena montuosa, un cavolfiore o un fiocco di neve: tutti questi esempi mostrano la stessa caratteristica. Sono oggetti autosimili, cioè forme che si ripetono a diverse scale.

Il matematico Benoît Mandelbrot ha coniato per queste strutture la parola frattali, dal latino fractus, che significa "irregolare" o "frastagliato". E in effetti tutti gli esempi citati presentano forme ramificate, spezzate o irregolari, che sfuggono alla geometria tradizionale. Nel corso del Novecento, attorno a queste forme è nata una vera e propria geometria frattale, che cerca di descrivere e comprendere le strutture presenti in natura. Ciò che colpisce è che gli oggetti frattali, pur essendo estremamente complessi, possono essere generati attraverso l'iterazione di figure molto semplici. Il celebre fiocco di neve di Koch, ad esempio, nasce da un semplice triangolo equilatero.

Grazie ai computer, oggi è possibile creare frattali con algoritmi specifici: montagne virtuali, nuvole, fiumi, alberi, pianeti, foglie e persino figure completamente nuove, dai colori vivaci e dalle forme sorprendenti. Non stupisce che molte di queste immagini presentino spirali logaritmiche, dato che questa curva è autosimile e quindi perfettamente coerente con il mondo dei frattali.

La geometria frattale, nata quasi come una curiosità matematica, ha assunto nel tempo un ruolo sempre più importante in numerosi campi della scienza. E' diventata fondamentale per lo studio dei sistemi dinamici e dei fenomeni caotici, quei processi in cui piccolissime variazioni nelle condizioni iniziali possono generare enormi differenze nel risultato finale.

Basta pensare alla meteorologia: minimi cambiamenti nella temperatura, nella pressione, nella velocità del vento o nell'umidità possono modificare radicalmente l'evoluzione del tempo. Eppure, grazie ai modelli matematici, molti dei quali basati proprio su concetti frattali, oggi siamo in grado di formulare previsioni meteorologiche sorprendentemente affidabili.