Un percorso matematico per le vie di Brescia

Il problema dei quattro cani

L'inseguimento di quattro cani è un curioso e famoso problema posto dal matematico polacco Hugo Steinhaus (1887-1972). Quattro cani A, B, C, D sono nei quattro angoli di un cortile quadrato. In un preciso istante, cominciano a correre tutti con la stessa velocità A verso B, B verso C, C verso D, D verso A. Quale traiettoria compiono e qual è il loro punto d'incontro? Man mano che i cani si avvicinano tra loro, essendo la velocità dei cani costante e uguale, a ogni istante ciascun cane si troverà ai vertici di un quadrato in scala minore e ruotato rispetto al centro del quadrato iniziale, cioè rispetto al centro del cortile. Questa posizione simmetrica si conserva per tutta la rincorsa perchè tutti questi quadrati sono simili tra loro. Ora, un quadrato che subisce, continuamente un rimpicciolimento e una rotazione rispetto allo stesso centro descriverà con i sui quattro vertici altrettante spirali logaritmiche.

Queste spirali sono logaritmiche perchè se consideriamo, ad esempio, i due cani A e B abbiamo, in ogni istante, che le due linee quella che congiunge A con B e quella che congiunge A con il centro del cortile formano un angolo costante di 45°. Le quattro spirali logaritmiche sono congruenti, e simmetriche ed è possibile passare da una curva all'altra con una rotazione di 90° attorno al centro del cortile. Le traiettorie percorse dai cani sono quindi delle spirali logaritmiche che, oltre al centro del cortile non hanno altri punti in comune. Pertanto il centro del cortile sarà il punto di incontro dei cani. Questo problema può essere generalizzato a n cani che partono dagli n angoli di un cortile a forma di poligono regolare di n lati. Ogni cane si dirige, a velocità costante, verso il cane più vicino in senso antiorario. La traiettoria che compie ogni animale è sempre una spirale logaritmica.

La strategia utilizzata dai cani che s'inseguono è stata per lungo tempo studiata per stabilire qual è la migliore traiettoria per un missile aria-aria intelligente a guida automatica e munito di apparecchiature sensibili alle radiazioni termiche e acustiche per colpire un bersaglio estremamente mobile. Gli ornitologi hanno osservato che i falchi pellegrini quando si lanciano su una preda seguono sempre una traiettoria che ha la forma di una spirale logaritmica. I biologi, si sono allora chiesti perchè il falco non si dirige in linea retta verso la preda? Dopo un'accurata indagine hanno scoperto che l'angolo caratteristico della spirale che il falco esegue è sempre di 40° e che quest'angolo è uguale alla divergenza angolare fra i suoi occhi che sono collocati ai lati della testa. Il falco quando insegue la sua preda tiene la testa fissa in modo da sviluppare al massimo la sua velocità che è di circa 300 km/h. Per far in modo che la preda rimanga sempre nel campo visivo dello stesso occhio con cui fissa la preda deve per forza seguire un percorso a spirale equiangolare che converge sulla preda.