Un percorso matematico per le vie di Brescia

Fregi

Si vedono spesso riprodotti sulle facciate dei palazzi disegni o motivi che si ripetono periodicamente in una sola direzione. Una decorazione periodica di questo tipo è chiamata fregio.

In matematica la parola "fregio" indica una striscia di piano illimitata compresa tra due rette parallele nelle quali c'è una figura di base o motivo che si ripete indefinitamente nella stessa direzione della striscia mediante una traslazione inoltre, esiste almeno una traslazione che porta tutto il fregio su se stesso. Nella realtà i fregi che vediamo sulle facciate dei palazzi o nelle cancellate in ferro battuto sono soltanto dei pezzi di fregi perchè non sono illimitati.

Il fregio è una creazione artistica utilizzato in tutte le epoche e in tutte le civiltà con una grande varietà di disegni. Si potrebbe pensare che esistono infiniti fregi, tutti diversi uno dall'altro eppure è stato dimostrato che, dal punto di vista della simmetria, i fregi presentano solo sette schemi diversi detti gruppi di fregi. In pratica, analizzando un qualunque fregio possiamo classificarlo in uno ed in uno solo di questi sette schemi. Il limitato numero di tipologie dipende dai vincoli a cui è soggetto un fregio. Dobbiamo immaginare un fregio come un'infinita successione di rettangoli o di quadrati o di parallelogrammi ognuno dei quali contiene lo stesso disegno e sia i rettangoli che i disegni si devono sovrapporre con una traslazione lungo una data direzione.

Ora, chiediamoci, oltre alla traslazione esistono altre isometrie che possono portare questa infinita successione di rettangoli su se stessa in modo che anche le copie del disegno possano sovrapporsi? Sí, sappiamo che un rettangolo torna su se stesso con l'identità, con una riflessione verticale, con una riflessione orizzontale, e con una rotazione di 180° e quindi per far in modo che questa lunghissima striscia torni su se stessa dobbiamo operare solo con queste tre isometrie e con la loro composizione. Naturalmente anche la figura di base deve poter sovrapporsi con le sue copie con le stesse isometrie. Ad esempio, se un fregio torna su se stesso sia con una traslazione e sia con una riflessione verticale la figura di base deve sovrapporsi ad una delle sue copie con le stesse isometrie e ciò è possibile solo se la figura di base possiede a sua volta un asse di simmetria verticale.

In questa figura è rappresentato solo un pezzo di fregio che torna su se stesso sia con una traslazione sia con una riflessione verticale ortogonale alla traslazione e che taglia a metà la base del rettangolo.

In questa figura è rappresentato solo un pezzo di fregio che torna su se stesso sia con una traslazione sia con una riflessione orizzontale parallela alla traslazione e che divide a metà la striscia.

Vediamo con un altro ragionamento perchè per creare un fregio possiamo operare solo con alcune isometrie.

• Le traslazioni devono avere tutte la stessa direzione perchè se applicassimo due traslazioni con direzioni diverse il disegno uscirebbe dalla striscia e si ripeterebbe all'infinito in tutto il piano.

  

• Le riflessioni devono essere perpendicolari o orizzontali alla direzione della traslazione perchè se applicassimo una riflessione diversa il disegno potrebbe uscire dalla striscia.

  

• Le rotazioni devono essere di 180° perchè se applicassimo una rotazione con un diverso angolo il disegno potrebbe uscire dalla striscia.

  

Vediamo i sette schemi dei fregi.

• Primo schema:
  
  Il disegno contenuto in un rettangolo è asimmetrico e quindi torna su se stesso solo con l'identità. Nel fregio il disegno può sovrapporsi ad ogni altra sua copia solo con una traslazione che ha la stessa direzione della striscia. Tutto il fregio immaginato come una striscia di piano torna su se stesso con una traslazione.

  

• Secondo schema:
  
  Il disegno contenuto in un rettangolo torna su se stesso con l'identità oppure con una riflessione verticale che taglia a metà la base del rettangolo. Nel fregio la figura di base può sovrapporsi ad ogni altra sua copia con una traslazione che ha la stessa direzione della striscia. Tutto il fregio immaginato come una striscia di piano torna su se stesso con una traslazione oppure con una riflessione verticale.

  

• Terzo schema:
  
  Il disegno contenuto in un rettangolo torna su se stesso con l'identità e con una riflessione orizzontale. Nel fregio la figura di base può sovrapporsi ad ogni altra sua copia con una traslazione che ha la stessa direzione della striscia. Tutto il fregio immaginato come una striscia di piano torna su se stesso con una traslazione oppure con una riflessione orizzontale.

  

• Quarto schema:
  
  Il disegno contenuto in un rettangolo torna su se stesso con l'identità, con una riflessione orizzontale e con una riflessione verticale. Nel fregio il disegno può sovrapporsi ad ogni altra sua copia con una traslazione che ha la stessa direzione della striscia. Tutto il fregio immaginato come una striscia di piano torna su se stesso con una traslazione oppure con una riflessione orizzontale oppure con una riflessione verticale.

  

• Quinto schema:
  
  Il disegno contenuto in un rettangolo torna su se stesso con l'identità e una rotazione di 180°. Nel fregio il disegno può sovrapporsi ad ogni altra sua copia con una traslazione che ha la stessa direzione della striscia. Tutto il fregio immaginato come una striscia di piano torna su se stesso con una traslazione oppure con una rotazione di 180°.

  

• Sesto schema:
  
  Il disegno contenuto in un rettangolo torna su se stesso con l'identità e componendo una riflessione orizzontale seguita da una traslazione (glissoriflessione). Nel fregio il disegno può sovrapporsi ad ogni altra sua copia con una traslazione che ha la stessa direzione della striscia. Tutto il fregio immaginato come una striscia di piano torna su se stesso con una traslazione oppure con una glissoriflessione.

  

• Settimo schema:
  
  Il disegno contenuto nel rettangolo torna su se stesso con l'identità, con una glissoriflessione seguita da riflessione verticale. Nel fregio il disegno può sovrapporsi ad ogni altra sua copia con una traslazione che ha la stessa direzione della striscia. Tutto il fregio immaginato come una striscia di piano torna su se stesso con una traslazione oppure con una glissoriflessione seguita da una riflessione verticale.

  

Esaminiamo alcuni fregi:

Il disegno contenuto nel rettangolo torna su se stesso con una rotazione di 180° e quindi il fregio appartiene al quinto schema.

Il disegno contenuto nel rettangolo torna su se stesso con una riflessione verticale e quindi il fregio appartiene al secondo schema.

Il disegno contenuto nel rettangolo torna su se stesso con una riflessione verticale e con una riflessione orizzontale quindi il fregio appartiene al quarto schema.

Il disegno contenuto nel rettangolo torna su se stesso con l'identitè quindi il fregio appartiene al primo schema.