Un percorso matematico per le vie di Brescia

Composizione di simmetrie

Le simmetrie o i movimenti che portano un quadrato su se stesso sono, come sappiamo, otto: 4 ribaltamenti e 4 rotazioni. Componendo due qualsiasi movimenti che portano un quadrato su se stesso, si ottiene ancora una delle 4 rotazioni o uno dei 4 ribaltamenti? Facciamo degli esperimenti. Consideriamo un cartoncino quadrato con una faccia grigia e l'altra azzurra; inoltre evidenziamo, su entrambe le facce, un angolino in rosso.

Poniamo il cartoncino quadrato con la faccia grigia in su ed effettuiamo prima una rotazione di 90°, poi una di 180°. Con quale movimento possiamo passare direttamente dal quadrato nella posizione iniziale a quella finale?

Con una rotazione di 270°. In generale componendo due rotazioni si ottiene ancora una rotazione.

Poniamo ancora il cartoncino quadrato con la faccia grigia in su ed effettuiamo prima un ribaltamento rispetto all'asse verticale, poi rispetto all'asse diagonale. Con quale movimento possiamo passare direttamente dal quadrato nella posizione iniziale a quella finale?

Con una rotazione di 270°. In altre parole, l'effetto dei due ribaltamenti è equivalente a una sola rotazione di 270°. In generale componendo due ribaltamenti si ottiene una rotazione.

Poniamo ancora il cartoncino quadrato con la faccia grigia in su ed effettuiamo prima un ribaltamento rispetto all'asse orizzontale, poi una rotazione di 90°. Con quale movimento possiamo passare direttamente dal quadrato nella posizione iniziale a quella finale?

Con un ribaltamento rispetto all'asse diagonale. In generale, componendo un ribaltamento con una rotazione (o viceversa) si ottiene un ribaltamento.

Si intuisce che, componendo due qualsiasi movimenti che portano un quadrato su se stesso, si ottiene ancora uno degli 8 movimenti esaminati (cioè una delle 4 rotazioni o uno dei 4 ribaltamenti). In questo caso si dice che l'insieme dei movimenti che portano il quadrato su se stesso è chiuso rispetto alla composizione.