Un percorso matematico per le vie di Brescia

Una superficie sviluppabile

Il cilindro, è un solido di rotazione perchè può essere ottenuto facendo ruotare di un giro completo un rettangolo attorno a uno dei suoi lati.

Il lato DC attorno al quale avviene la rotazione rappresenta l'altezza del cilindro, mentre il lati AD e BC sono i raggi dei cerchi di base. Durante la rotazione il lato AB assume la posizione di infiniti segmenti ciascuno dei quali si chiama generatrice del cilindro. L'insieme dei punti generati dalla rotazione completa del solo lato AB prende il nome di superficie laterale del cilindro. Possiamo definire la superficie cilindrica come il luogo dei punti dello spazio la cui distanza da una retta fissa è costante. Se stacchiamo l'etichetta di carta che avvolge completamente un barattolo cilindrico ci rendiamo conto che la superficie laterale di un cilindro può essere distesa su un piano. La superficie laterale di un cilindro pur essendo una superficie curva non appartenente a uno stesso piano può essere sviluppata nel piano. Lo sviluppo della superficie è un rettangolo che ha la stessa altezza del cilindro e la base lunga quanto la circonferenza di base del cilindro.

Non tutte le superficie curve possono essere sviluppate nel piano, ad esempio una sfera non è sviluppabile nel piano. Possiamo renderci conto di ciò con un semplice esperimento. Prendiamo una palla di gomma e tagliamola lungo la circonferenza massima.

Poi cerchiamo di distendere tale superficie sul piano suddividendola in un certo numero di regioni. Ogni regione per quanto piccola, mantiene la sua "curvatura" e quindi non riusciamo a distenderla completamente nel piano. Se cerchiamo di distendere la superficie di una sfera nel piano, si creano necessariamente delle fessure in quanto c'è meno superficie di quanta ne serva per essere appiattita. Il fatto che la superficie laterale di un cilindro sia sviluppabile nel piano rende anche facile l'operazione inversa cioè, costruire un cilindro partendo da un foglio rettangolare. Per questo la forma cilindrica è molto usata come contenitore.

A Brescia l'esempio più importante di un edificio cilindrico è rappresentato dal Duomo Vecchio noto ai bresciani con l'appellativo La Rotonda. Fu costruito nell'undicesimo secolo sulle rovine della basilica di Santa Maria Maggiore de Dom edificata tra V e VI secolo. Dell'antica basilica resta la cripta di san Filastrio.

La struttura è costituita da due corpi cilindrici sovrapposti. Nel cilindro inferiore sono disposte simmetricamente coppie di finestre con archi a tutto sesto.

Il cilindro superiore è costituito da due parti; nella parte più bassa sono disposte simmetricamente alte finestre, mentre la parte più alta è divisa in spicchi da semi colonne. In ogni spicchio c'è una finestra con doppia cornice ad arco a tutto sesto. Nelle tre direzioni nord, sud ed est la finestra è circolare.

L'innalzamento del terreno ha nascosto i due antichi ingressi situati a un livello più basso rispetto a quello attuale.

Purtroppo il divario tra il nuovo e il vecchio livello del terreno non permette di cogliere appieno le dimensioni proporzionate dell'edificio.

Se ho un foglio rettangolare, con le dimensioni una doppia dell'altra, che indichiamo con a e 2a, posso incurvarlo in due modi diversi per ottenere un cilindro. Nel primo caso incurvo il rettangolo lungo la dimensione 2a e ottengo un cilindro di altezza a con la circonferenza di base lunga 2a, nel secondo caso ottengo un cilindro di altezza 2a con la circonferenza di base lunga a. Naturalmente, i due cilindri hanno la stessa superficie laterale. Hanno anche lo stesso volume?

I due cilindri non hanno lo stesso volume. Perchè? Il volume di un cilindro è dato dal prodotto dell'area di base per l'altezza che tradotto in formula è V = Πr²h. La misura del raggio influisce di piè, sul valore del volume, perchè è elevato al quadrato e quindi avrà un volume maggiore il cilindro con la base maggiore, anche se l'altezza è minore. Se ancora non siete convinti, possiamo dimostralo algebricamente. Consideriamo il primo cilindro con l'altezza a e circonferenza di base uguale ad 2a. Essendo la formula della circonferenza uguale a 2Πr possiamo determinare il raggio in funzione di a.

per cui il volume è:

Il secondo cilindro ha altezza 2a e circonferenza di base uguale ad a. Applicando lo stesso procedimento di prima si ha:

Come si vede il volume del primo cilindro è il doppio di quello del secondo cilindro. Questo curioso problema fu posto da Galileo nel suo libro Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze:

Di qui s'intende la ragione d'un accidente che non senza maraviglia vien sentito dal popolo; ed è come possa essere che il medesimo pezzo di tela più lungo per un verso che per l'altro, se se ne facesse un sacco da tenervi dentro del grano, come si costuma fare con un fondo di tavola, terrà più servendoci per l'altezza del sacco della minor misura della tela e con l'altra circondando la tavola del fondo, che facendo per l'opposto.

Se l'altezza e il diametro di base del cilindro hanno la stessa misura il cilindro è detto equilatero e la sezione del cilindro con un piano che contiene l'asse è un quadrato. Pertanto, la volta a botte che è la metà di un cilindro equilatero copre una superficie quadrata.

In un cilindro equilatero possiamo inscrivere una sfera

Archimede scoprí che il volume di una sfera è uguale ai 2/3 del volume del cilindro i cui essa è inscritta. E curiosamente la superficie di una sfera è uguale ai 2/3 della superficie totale del cilindro in cui essa è inscritta.