Un percorso matematico per le vie di Brescia

Gli schemi delle tassellazioni

Guardando la grande varietà di pavimentazioni, i motivi presenti sulle carte da parati, i disegni periodici di Escher, le decorazioni sulle pareti dei palazzi dell'Alhambra a Granada, si potrebbe pensare che non ci siano limiti nel creare uno schema nuovo con il quale si può tassellare il piano con poligoni o con figure a incastro. Invece, è stato dimostrato dal russo Evgtaf Stepanov Fedorov (1853-1919), che dal punto di vista della simmetria, esistono esattamente 17 tipi di schemi per la tassellazione. Dobbiamo immaginare una tassellazione periodica come una ripetizione di un dato poligono, che contiene al suo interno un disegno, fino a ricoprire totalmente il piano senza sovrapposizioni o lacune mediante la composizione di due traslazioni indipendenti, cioè due traslazioni che non hanno la stessa direzione. Nella realtà le tassellazioni che vediamo rappresentano solo un frammento di una tassellazione intesa in senso matematico perchè non sono infinitamente estese nelle due direzioni.

I possibili poligoni compatibili con le due traslazioni indipendenti e tali da ricoprire tutto il piano sono: triangoli equilateri, rettangoli, parallelogrammi, rombi con un angolo di 60°, quadrati e esagoni regolari. Se consideriamo questi poligoni, senza inserire al loro interno un disegno, e li trasliamo nelle due direzioni indipendenti u e v e le loro combinazioni mu + nv (dove m e n sono due numeri interi) otteniamo dei reticoli che ricoprono tutto il piano senza sovrapposizioni e senza lacune.

Ora, questi reticoli possiedono anche altre simmetrie quali rotazioni intorno ad un punto e riflessioni rispetto ad una retta. Ad esempio, consideriamo il reticolo a maglie quadrate. Questo si sovrappone a se stesso anche con rotazioni di 90°, 180°, 270° e 360° attorno a un vertice o nel centro di tutti i quadrati presenti nel reticolo.

Inoltre, torna su se stessa anche con le tipiche riflessioni che portano un quadrato su se stesso.

Tutte queste simmetrie del reticolo a maglie quadrate restano invariate se all'interno di ogni quadrato è inserito lo stesso disegno? No! Potrebbero diminuire perchè la simmetria traslazionale del reticolo, le simmetrie del poligono che costituiscono il retiolo e le simmetrie del disegno devono essere compatibili. Ad esempio, se nel reticolo a maglie quadrate inseriamo un disegno asimmetrico l'unica simmetria del quadrato compatibile con il disegno è una rotazione di 360° intorno a un punto. In questo caso, la tassellazione si sovrappone a se stessa solo con la simmetria traslazionale e con rotazioni di 360° intorno a un punto del reticolo.

La classificazione delle tassellazioni deriva quindi dai diversi tipi di simmetrie che possono portare la tassellazione su se stessa oltre alle due traslazioni indipendenti e all'identità. In definitiva dire che ci sono esattamente 17 schemi di tassellazioni vuol dire quindi che ci sono esattamente 17 distinte combinazioni di isometrie che portano una tassellazione in se stessa che contengono due traslazioni indipendenti.

Vediamo i 17 schemi di tassellazioni.

• Primo schema:
  
  La tassellazione torna su se stessa solo con le due traslazione u e v e loro combinazioni e con l'dentità. Non ci sono rotazioni, riflessioni o glissoriflessioni. Questo è lo schema più semplice ed è sempre presente anche in tutti gli altri 16 schemi.

  

• Secondo schema:
  
  La tassellazione torna su se stessa anche con simmetrie di riflessioni (assi verticali). Non ci sono nè rotazioni nè glissoriflessioni.

  

• Terzo schema:
  
  La tassellazione torna su se stessa anche con glissoriflessioni. Non ci sono nè rotazioni nè riflessioni.

  

• Quarto schema:
  
  La tassellazione torna su se stessa anche con simmetrie di riflessioni (assi diagonali) e con glissoriflessioni (gli assi delle glissoriflessioni sono paralleli e a metà strada tra due assi adiacenti di riflessione).

  

• Quinto schema:
  
  La tassellazione torna su se stessa con rotazioni di 180ۢ rispetto al centro di ogni poligono. Non ci sono nè riflessioni nè glissoriflessioni.

  

• Sesto schema:
  
  La tassellazione torna su se stessa con riflessioni verticali e orizzontali e quindi anche con rotazioni di 180° rispetto ai punti di intersezione degli assi.

  

• Settimo schema:
  
  La tassellazione torna su se stessa anche con glissoriflessioni e rotazioni di 180°.

  

• Ottavo schema:
  
  La tassellazione torna su se stessa anche riflessioni e glissoriflessioni.

  

• Nono schema:
  
  La tassellazione torna su se stessa anche riflessioni perpendicolari e con rotazioni di 180°.

  

• Decimo schema:
  
  La tassellazione torna su se stessa anche con rotazioni di 120° e 240°. Non ci sono nè riflessioni nè glissoriflessioni.

  

• Undicesimo schema:
  
  La tassellazione torna su se stessa anche con le riflessioni (assi inclinati a 60° tra loro) e con rotazioni di 120° e 240°.

  

• Dodicesimo schema: La tassellazione torna su se stessa anche con le riflessioni (assi inclinati a 60° tra loro) e con rotazioni di 120° e 240°. I centri di rotazione sono sugli assi di riflessione.

  

• Tredicesimo schema:
  
  La tassellazione torna su se stessa anche con le rotazioni di 90°, 180°, 270°. Non ci sono nè riflessioni nè glissoriflessioni.

  

• Quattordicesimo schema:
  
  La tassellazione torna su se stessa anche con le rotazioni di 90°, 180°, 270° e con riflessioni (assi inclinati di 45° tra loro).

  

• Quindicesimo schema:
  
  La tassellazione torna su se stessa anche le rotazioni di 90°, 180°, 270° e con riflessioni.

  

• Sedicesimo schema:
  
  La tassellazione torna su se stessa anche con rotazioni di 60°, 120°, 180°, 240° e 300°. Non ci sono nè riflessioni nè glissoriflessioni.

  

• Diciasettesimo schema:
  
  La tassellazione torna su se stessa anche con rotazioni di 60°, 120°, 180°, 240° e 300° e con sei riflessioni (gli assi di riflessione si intersecano e sono inclinati a 30° fra loro).