Un percorso matematico per le vie di Brescia

Bifora

In piazza Paolo VI si può ammirare la Loggia delle Grida costruita tra il 1233 e il 1227, distrutta nel 1797 durante la rivoluzione che portò alla costituzione della repubblica Cisalpina Bresciana e ricostruita all'inizio del novecento.

In questa facciata possiamo notare tre caratteristiche finestre: una bifora, una trifora e una quadrifora. La bifora è una finestra tipica del periodo romanico e gotico. E' formata da due aperture verticali divise da una colonnina o da un pilastro su cui poggiano due archi, a tutto sesto o acuti. Spesso è poi incorniciata da un ulteriore arco a tutto sesto o acuto.

Consideriamo dal punto di vista geometrico, la bifora con i tre archi a tutto sesto. Una figura costituita da una semicirconferenza di raggio r e da due semicirconferenze tangenti fra loro di raggio r/2.

La lunghezza della semicirconferenza di raggio r è maggiore rispetto alla somma delle lunghezze delle due semicirconferenze di raggio r/2? L'intuito ci porta a dire che sia maggiore la lunghezza della semicirconferenza di raggio r. Verifichiamolo

L'intuito ci ha ingannato la lunghezza della semicirconferenza maggiore è uguale alla somma delle lunghezze delle due semicirconferenze minori.

Consideriamo ora dal un punto di vista geometrico la bifora con i tre archi a sesto acuto e poniamoci la stessa domanda; è maggiore la lunghezza dell'arco acuto esterno o la somma delle lunghezze dei due archi acuti interni?

Se per semplicità consideriamo che ogni semiarco sia un sesto di circonferenza si ha:

Le due lunghezze sono ancora uguali. Possiamo dire la stessa cosa anche per queste due figure?

Sí, la lunghezza della semicirconferenza esterna è uguale alla somma delle semicirconferenze più piccole. Immaginiamo di dividere il diametro AB in un numero sempre maggiore di parti e di costruire le corrispondenti semicirconferenze. La somma delle lunghezze delle varie semicirconferenze è sempre uguale alla lunghezza della semicirconferenza di diametro AB. Questa proprietà si mantiene anche nel caso "limite", cioè quando le semicirconferenze si riducono a un punto? No! Perchè nel caso limite la somma delle lunghezze delle "semicirconferenze piccole" è uguale a 2 volte il raggio.