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Due famosi problemi di geometria

Anche Archimede, come molti matematici dell'antica Grecia, rimase affascinato dai tre grandi problemi classici della geometria: la quadratura del cerchio, la trisezione di un angolo e la duplicazione del cubo. La sfida consisteva nel risolverli utilizzando esclusivamente due strumenti, la riga e il compasso. Oggi sappiamo che, con questa limitazione, i tre problemi non possono essere risolti; diventano invece affrontabili se si ricorre a curve particolari, non costruibili con i soli strumenti tradizionali.

Archimede trovò nella sua celebre spirale lo strumento ideale per affrontare due di questi problemi: la quadratura del cerchio e la trisezione di un angolo.

La quadratura del cerchio

Il primo problema può essere ricondotto alla cosiddetta rettificazione della circonferenza, cioè alla possibilità di costruire un segmento che abbia la stessa lunghezza della circonferenza di un dato cerchio. Archimede affrontò la questione considerando la prima spira della sua spirale. Partí dal punto A, centro della spirale, e tracciò il cerchio di raggio AB. Poi disegnò la tangente alla spirale nel punto B e una retta s perpendicolare al segmento AB passante per A. Il punto in cui la tangente e la retta s si incontrano venne indicato con C. Archimede dimostrò che la lunghezza del segmento AC coincide con quella della circonferenza di raggio AB. Come mostra la figura, applicando questo procedimento a un cerchio di raggio 2 cm si ottiene una lunghezza di circa 12,6 cm, un valore che rappresenta una buona approssimazione della circonferenza, con un piccolo eccesso e una sola cifra decimale.

La trisezione dell'angolo

Passiamo ora al secondo problema. Archimede costruisce sulla spirale un angolo AOB da dividere in tre parti uguali. Il vertice O coincide con il punto iniziale della spirale; il lato OA rappresenta la posizione iniziale della semiretta che ruota, mentre il lato OB interseca la spirale in un punto C.

A questo punto divide il segmento OC in tre parti uguali, ottenendo i punti D ed E, tali che OD = DE = EC. Poi traccia due circonferenze con centro in O e raggi rispettivamente OD e OE. Queste circonferenze incontrano la spirale in due punti, F e G, che determinano le semirette OF e OG. In questo modo l'angolo AOB risulta suddiviso in tre angoli congruenti.

La validità del procedimento si basa su una proprietà fondamentale della spirale di Archimede: la distanza di ogni punto della curva dal polo è direttamente proporzionale all'angolo di rotazione. Di conseguenza, tre segmenti uguali sul raggio vettore corrispondono a tre angoli uguali percorsi dalla semiretta. Questo metodo, inoltre, può essere esteso per dividere un angolo in qualsiasi numero di parti uguali.