Un percorso matematico per le vie di Brescia

Due famosi problemi di geometria

Anche Archimede, come buona parte dei matematici greci, subí il fascino dei tre famosi problemi della geometria: la quadratura del cerchio, la trisezione di un angolo e la duplicazione del volume di un cubo. Questi problemi dovevano essere risolti utilizzando solo due strumenti, la riga e il compasso. Oggi sappiamo che con questa limitazione i tre problemi sono insolubili, mentre possono essere risolti utilizzando varie curve non costruibili solo con riga e compasso. Archimede utilizzò la sua famosa spirale per risolvere due di questi problemi: la quadratura del cerchio e la trisezione di un angolo. Il primo problema è riconducibile alla rettificazione della circonferenza, cioè alla possibilità di costruire un segmento che abbia la stessa lunghezza di una circonferenza. Per far ciò prese in considerazione la prima spira della spirale e tracciò il primo cerchio, cioè il cerchio di centro A e raggio AB. Poi tracciò la tangente alla spirale nel punto B e la retta s perpendicolare ad AB in A e indicò con C il punto di intersezione tra r e s. Infine dimostrò che la lunghezza del segmento AC era uguale alla lunghezza della circonferenza di raggio AB. Come si vede dalla figura, seguendo questo procedimento la lunghezza della circonferenza di raggio 2 cm risulta essere di 12,6 cm che rappresenta una buona approssimazione per eccesso con una sola cifra decimale.

Vediamo adesso come ha risolto il secondo problema. Archimede costruisce sulla spirale l'angolo AOB, da dividere in tre parti uguali, in modo che il vertice O coincida con il punto iniziale della spirale, il lato OA coincida con la posizione iniziale della semiretta s che ruota e il lato OB intersechi la spirale in un punto C. Poi, divide il segmento OC in tre parti uguali OD = DE = EC e traccia due circonferenze aventi per centro O e per raggi OD e OE. Queste circonferenze intersecano la spirale in due punti F e G che individuano le due semirette OF e OG che dividono in tre parti uguali l'angolo di partenza. La giustificazione di questo procedimento deriva dal fatto che nella spirale di Archimede le distanze dei punti della curva dal polo sono direttamente proporzionali all'angolo di rotazione. Pertanto alle tre distanze uguali OD = DE = EC sul raggio vettore corrispondono i tre angoli uguali percorsi dalla semiretta s. Questo metodo può essere esteso e quindi utilizzato per dividere un angolo in un qualsiasi numero di parti uguali.