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La spirale meravigliosa

Che curva si ottiene se il punto invece di muoversi sulla semiretta con velocità costante si muovesse con un'accelerazione costante, mentre la semiretta ruota uniformemente intorno alla sua origine fissa? Si ottiene un altro tipo di spirale detta logaritmica scoperta nel 1638 da Cartesio (1596-1690).

L'allievo di Galileo, Evangelista Torricelli (1608-1647) scrisse un trattato su questa curva il De infinitis spiralibus. La spirale logaritmica possiede numerose proprietà e ha ricevuto anche numerosi appellativi. Il matematico svizzero Jacob Bernoulli (1654-1705) che scoprí molte proprietà di questa curva la chiamò spirale meravigliosa e chiese che venisse scolpita sulla sua tomba. Questo suo desiderio non fu realizzato perchè lo scalpellino si sbagliò incidendo una spirale di Archimede. Come si vede dalla figura la distanza tra due spire consecutive non è costante ma aumenta progressivamente. Se dal polo O tracciamo alcuni raggi vettori (OA, OB, OC, OD, OE) in modo che l'ampiezza tra due raggi vettori consecutivi sia costante, allora le misure di questi raggi vettori formano una proporzione continua.

OA:OB=OB:OC=OC:OD=OD:OE

In altre parole, sono uguali i rapporti.

E quindi questi raggi vettori formano una progressione geometrica. Per questo motivo la spirale logaritmica è stata chiamata anche spirale geometrica o spirale proporzionale.

Questa curva è stata chiamata anche spirale equiangolare perchè per ogni suo punto è costante l'angolo tra la tangente alla curva in quel punto ed il raggio vettore.

Ogni spirale logaritmica è caratterizzata da questo angolo e di conseguenza se due spirali logaritmiche formano con i raggi e le tangenti gli stessi angoli allora sono anche congruenti. Che cosa succede se l'angolo tra la tangente alla curva e il raggio vettore è retto? La spirale logaritmica degenera in una circonferenza. Per le sue proprietà geometriche (la proporzionalità e l'equiangolarità) la spirale logaritmica è una figura che cresce continuamente senza cambiare forma, cioè se ci allontaniamo sempre di più dal suo punto di origine le dimensioni della spirale aumentano ma la curva rimane sempre somigliante a se stessa. Allo stesso modo se ci avviciniamo sempre di più verso il polo le dimensioni della spirale diminuiscono ma la curva continua a somigliare a se stessa. In altre parole, se potessimo osservare il centro della spirale logaritmica con un potente microscopio, questo ci apparirebbe esattamente come la spirale osservata senza microscopio.

Questa proprietà viene detta di autosomiglianza. In altre parole, se noi prendiamo una qualsiasi parte della curva che contenga l'origine, questa è simile a tutta la curva. Questo vuol dire che se noi prendiamo una spirale logaritmica e operiamo su di essa con una trasformazione di similitudine otteniamo ancora una spirale logaritmica congruente a quella iniziale. Anche nel mondo vegetale e animale i fenomeni di accrescimento avvengono conservando sempre la medesima forma. Se osserviamo due conchiglie della stessa specie ma di età diversa possiamo vedere che le due forme sono l'una l'ingrandimento dell'altra. La conchiglia, come il mollusco in essa contenuto, cresce in grandezza ma non cambia di forma. Questa proprietà permette al mollusco di incrementare le proprie dimensioni mantenendo costante il rapporto tra il proprio corpo e le dimensioni della conchiglia. Pertanto, la forma geometrica della spirale logaritmica rappresenta, per il mollusco l'habitat ideale per crescere accrescendo contemporaneamente la conchiglia. La spirale logaritmica si è guadagnata quindi un nuovo appellativo; spirale di crescita. Per capire meglio, quanto è stato detto, osservate la seguente figura ottenuta con semplici operazioni geometriche.

Questo guscio di "conchiglia" è stato ottenuto partendo dal cerchio rosso e da un punto esterno al cerchio. Poi sul cerchio sono state applicate un certo numero di similitudini ottenute componendo una rotazione di 20° e un'omotetia di coefficiente 0,96 entrambe fatte con centro nel punto esterno al cerchio. L'omotetia è una particolare similitudine perchè è una trasformazione che determina l'ingrandimento o il rimpicciolimento di una figura conservando sia la forma sia direzione delle rette. La stessa figura, ottenuta allontanando il punto esterno (polo della spirale) dal cerchio iniziale mette in evidenza la spirale logaritmica e le applicazioni di similitudini sul cerchio iniziale.

Osservate la seguente figura. Questa volta come figura di partenza è stato preso un quadrilatero. Poi, come al solito, al quadrilatero sono state applicate una serie di similitudini in modo da ottenere la forma di una conchiglia. Infine, agendo solo con il mouse su uno dei vertici del quadrilatero di partenza è stata modificata la forma del quadrilatero. Sono state cosí ottenute delle forme simili a una proboscide, a un artiglio, a una zanna di elefante. Ciò è sorprendente perchè mette bene in evidenza come con una stessa semplice costruzione e con piccole modifiche si possono ottenere delle forme cosí diverse. E' anche sorprendente che la natura sia stata cosí efficace a sfruttare questo meccanismo. Pensate l'uomo ha scoperto la spirale logaritmica solo nel 1638, la natura la utilizza con molto profitto da milioni di anni.