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La spirale meravigliosa

Che cosa accadrebbe se, invece di muoversi lungo una semiretta con velocità costante, come avviene nella spirale di Archimede, un punto si muovesse con accelerazione costante, mentre la semiretta continua a ruotare uniformemente attorno alla sua origine? In questo caso si otterrebbe un altro tipo di spirale, molto diversa dalla precedente: la spirale logaritmica, scoperta nel 1638 da Cartesio.

Pochi anni dopo, Evangelista Torricelli, allievo di Galileo, dedicò a questa curva un intero trattato, il De infinitis spiralibus. La spirale logaritmica affascinò molti matematici, tanto da ricevere numerosi nomi evocativi. Jacob Bernoulli, che ne studiò a fondo le proprietà, la definí “spirale meravigliosa” e desiderò che fosse incisa sulla sua tomba. Ironia della sorte, lo scalpellino sbagliò e scolpí invece una spirale di Archimede.

Osservando la figura, si nota subito una caratteristica fondamentale: la distanza tra due spire consecutive non è costante, ma cresce progressivamente. Se dal polo O tracciamo alcuni raggi vettori (OA, OB, OC, OD, OE) mantenendo costante l'angolo tra un raggio e il successivo, scopriamo che le loro lunghezze formano una proporzione continua, cioè una progressione geometrica.

OA:OB=OB:OC=OC:OD=OD:OE

In altre parole, sono uguali i rapporti.

Per questo motivo la spirale logaritmica è stata chiamata anche spirale geometrica o spirale proporzionale.

Un'altra proprietà sorprendente è la sua equiangolarità: in ogni punto della curva, l'angolo formato tra la tangente e il raggio vettore è sempre lo stesso.

Questo angolo caratterizza completamente la spirale; di conseguenza, due spirali logaritmiche che formano lo stesso angolo sono congruenti. Se questo angolo diventasse retto, la spirale degenererebbe in una semplice circonferenza.

Grazie alle sue proprietà, proporzionalità ed equiangolarità, la spirale logaritmica è una figura che cresce senza cambiare forma. Allontanandosi dal polo, la spirale si ingrandisce mantenendo sempre lo stesso aspetto; avvicinandosi, si rimpicciolisce ma resta identica a se stessa. E' una curva autosimile: qualunque porzione che contenga l'origine è simile all'intera figura. Se potessimo osservare il centro della spirale con un potente microscopio, vedremmo una forma identica a quella osservata a occhio nudo.

Questa straordinaria proprietà si ritrova anche in natura. Molti organismi crescono mantenendo invariata la propria forma: pensiamo alle conchiglie. Due esemplari della stessa specie, ma di età diversa, mostrano forme identiche, una semplicemente più grande dell'altra. Il mollusco cresce e, allo stesso tempo, amplia la conchiglia mantenendo costante il rapporto tra il proprio corpo e il suo "guscio". Per questo motivo la spirale logaritmica è stata chiamata anche spirale di crescita: rappresenta perfettamente il modo in cui molti esseri viventi aumentano di dimensione senza modificare la propria struttura. Per comprendere meglio questo meccanismo, osserviamo la figura ottenuta con semplici operazioni geometriche.

Il guscio della "conchiglia" è stato costruito partendo da un cerchio rosso e da un punto esterno. Su questo cerchio sono state applicate numerose similitudini, ottenute combinando una rotazione di 20° e un'omotetia di coefficiente 0,96, entrambe con centro nel punto esterno. L'omotetia è una trasformazione che ingrandisce o rimpicciolisce una figura mantenendone forma e direzione delle rette.

Ripetendo la stessa costruzione ma spostando più lontano il punto esterno, emerge chiaramente la spirale logaritmica e il ruolo delle similitudini. In un'altra figura, invece, si parte da un semplice quadrilatero: applicando una serie di similitudini si ottengono forme che ricordano una conchiglia. Modificando leggermente uno dei vertici del quadrilatero iniziale, si generano figure che evocano una proboscide, un artiglio o persino una zanna di elefante.

E' sorprendente vedere come una costruzione cosí semplice, con piccole variazioni, possa produrre forme tanto diverse. Ed è ancora più sorprendente pensare che la natura sfrutti da milioni di anni questo stesso principio, mentre l'uomo ha scoperto la spirale logaritmica solo nel XVII secolo.