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Spirale logaritmica aurea

Tra le tante spirali logaritmiche c'è nè una che ha affascinato matematici, artisti e architetti per secoli: la spirale aurea chiamata anche spirale armonica. Si tratta della spirale in cui il rapporto tra due raggi consecutivi è costante ed è uguale a:

Questo numero irrazionale indicato spesso con la lettera greca φ (phi) è noto anche come , sezione aurea, numero d'oro o divina proporzione.

Che cosa ha di particolare questo numero?

Gli antichi Greci ritenevano che un rettangolo fosse particolarmente armonioso quando il rapporto tra base e altezza fosse proprio uguale a φ. E' possibile dividere un segmento in infiniti modi, ma esiste un solo caso in cui il rapporto tra l'intero segmento e la parte maggiore è uguale al rapporto tra la parte maggiore e quella minore. In quel caso, la parte maggiore è media proporzionale tra l'intero segmento e la parte restante, e il valore comune dei due rapporti è proprio il numero aureo. Euclide, nei suoi Elementi, descrive come ottenere questa divisione usando soltanto riga e compasso. Il procedimento è elegante: dato un segmento AB, si costruisce un segmento BC lungo metà di AB e perpendicolare ad esso; si traccia AC, poi una circonferenza con centro in C e raggio BC, individuando un punto D su AC. Infine, con centro in A e raggio AD si traccia un'altra circonferenza che interseca AB in un punto E: quel punto divide AB in proporzione aurea.

Una volta ottenuta la divisione aurea, è semplice costruire un rettangolo aureo, cioè un rettangolo in cui il rapporto tra base e altezza è φ. Questo rettangolo ha una proprietà sorprendente: se si divide la base secondo la sezione aurea, si ottengono un quadrato e un nuovo rettangolo aureo, che può essere diviso allo stesso modo, e cosí via all'infinito.

La sezione aurea è diventata cosí famosa perchè fu utilizzato dagli artisti e dagli architetti Greci per realizzare le loro opere. Il partendone di Atene è uno degli esempi più significativi dell'applicazione della sezione aurea perchè ha la forma di un rettangolo armonico.

Anche nel rinascimento la sezione aurea fu ampiamente utilizzata dagli artisti influenzati dal testo De Divina Proporzione del matematico Luca Pacioli (1445-1519). Possiamo costruire facilmente con riga e compasso un'apparente spirale logaritmica aurea utilizzando i rettangoli armonici. In un rettangolo armonico si costruisce il quadrato di lato uguale al lato minore del rettangolo. Ciò che rimane è ancora un rettangolo armonico. Eseguendo più volte questo procedimento sul nuovo rettangolo armonico si ottiene una serie di quadrati e di rettangoli armonici sempre più piccoli. Ora, tracciando un quarto di circonferenza in ogni quadrato si ottiene una spirale logaritmica aurea approssimata. Tracciando poi la diagonale comune ai rettangoli aurei orizzontali e verticali si ottiene il polo della spirale.

Un'altra figura legata alla sezione aurea è il triangolo aureo, un triangolo isoscele con angoli alla base di 72° e angolo al vertice di 36°. Il rapporto tra uno dei lati uguali e la base è proprio φ. Possiamo costruire questo triangolo partendo da un pentagono regolare.

Se tracciamo la bisettrice di uno degli angoli alla base si ottiene un triangolo isoscele con un angolo al vertice di 108° e un altro triangolo aureo. Ripetendo il procedimento si ottiene una serie di triangoli aurei sempre pi• piccoli. Tracciando archi di circonferenza di 108° dai vertici appropriati si costruisce una pseudo‑spirale aurea.

Esiste anche un altro modo per ottenere una spirale aurea approssimata: utilizzare i numeri di Fibonacci:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

In cui ogni numero è la somma dei due precedenti. Si costruiscono quadrati i cui lati hanno lunghezze pari ai numeri della successione, affiancandoli in modo da formare un grande rettangolo. Tracciando quarti di circonferenza all'interno di ciascun quadrato si ottiene la celebre spirale di Fibonacci, molto simile alla spirale aurea.

Il collegamento tra la successione di Fibonacci e la sezione aurea è profondo: se si osservano i rapporti tra due termini consecutivi della successione:

Ci si accorge che questi valori si avvicinano sempre di più al numero aureo man mano che i numeri crescono. E' come se la successione "tendesse" naturalmente verso il numero aureo.