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Spirale logaritmica aurea

Tra le tante spirali logaritmiche c'è nè una particolare; la spirale aurea o armonica. La spirale aurea è quella che ha il rapporto costante fra due raggi radiali consecutivi uguale a:

dove i puntini indicano che il numero è irrazionale. Questo numero è detto sezione aurea o numero d'oro o divina proporzione. Che cosa ha di particolare questo numero? Gli antichi Greci ritenevano che un rettangolo fosse più armonioso e bello da vedere solo se il rapporto fra la base e l'altezza fosse uguale a questo numero. Dato un segmento AB possiamo dividerlo in due parti in infiniti modi, ma in un solo caso abbiamo che il rapporto fra tutto il segmento e la sua parte maggiore sia uguale al rapporto tra la parte maggiore e la parte minore, cioè che la parte maggiore sia media proporzionale fra l'intero segmento e la parte restante. E in questo caso i due rapporti sono uguali al numero d'oro. Euclide nei suoi Elementi indica come si può dividere un segmento in proporzioni auree con solo riga e compasso. Dato il segmento AB si traccia il segmento BC uguale alla metà di AB e perpendicolare ad AB. Si traccia il segmento AC e la circonferenza con centro in C e raggio BC e si indica con D il punto di intersezione tra AC e la circonferenza. Si traccia, infine, un'altra circonferenza con centro in A e raggio AD. Il punto E d'intersezione tra la circonferenza e il segmento AB divide quest'ultimo in proporzioni auree.

Una volta diviso il segmento in proporzioni auree possiamo facilmente costruire il rettangolo armonico. Il rettangolo armonico è un rettangolo in cui il rapporto tra base e altezza è uguale al numero aureo. Il rettangolo aureo ha una particolarità: se si divide la base in proporzioni auree si ottengono un quadrato e un altro rettangolo aureo che può essere a sua volta diviso in un quadrato e in un altro rettangolo aureo e cosí via.

La sezione aurea è diventata cosí famosa perchè fu utilizzato dagli artisti e dagli architetti Greci per realizzare le loro opere. Il partendone di Atene è uno degli esempi più significativi dell'applicazione della sezione aurea perchè ha la forma di un rettangolo armonico.

Anche nel rinascimento la sezione aurea fu ampiamente utilizzata dagli artisti influenzati dal testo De Divina Proporzione del matematico Luca Pacioli (1445-1519). Possiamo costruire facilmente con riga e compasso un'apparente spirale logaritmica aurea utilizzando i rettangoli armonici. In un rettangolo armonico si costruisce il quadrato di lato uguale al lato minore del rettangolo. Ciò che rimane è ancora un rettangolo armonico. Eseguendo più volte questo procedimento sul nuovo rettangolo armonico si ottiene una serie di quadrati e di rettangoli armonici sempre più piccoli. Ora, tracciando un quarto di circonferenza in ogni quadrato si ottiene una spirale logaritmica aurea approssimata. Tracciando poi la diagonale comune ai rettangoli aurei orizzontali e verticali si ottiene il polo della spirale.

C'è anche un altro poligono definito aureo è il triangolo aureo. E' un triangolo isoscele con gli angoli alla base di 72° e l'angolo al vertice di 36°. La sezione aurea è data dal rapporto tra uno dei lati uguali e la base. Possiamo costruire questo triangolo partendo da un pentagono regolare.

Se tracciamo la bisettrice di uno degli angoli alla base si ottiene un triangolo isoscele con un angolo al vertice di 108° e un altro triangolo aureo. Ripetendo più volte questa operazione si ottengono una serie di triangoli aurei sempre più piccoli. Puntando il compasso nei vertici dei triangoli isosceli con l'angolo di 108° si tracciano una successione di archi di circonferenza ampi 108° che insieme formano la pseudo spirale aurea.

Un altro modo per tracciare un'apparente spirale logaritmica aurea è quello di utilizzare quadrati i cui lati sono numeri di Fibonacci (1175-1240):

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

In questa successione di numeri ciascun termine, a partire dal terzo, è uguale alla somma dei due termini precedenti. Per la costruzione si parte dai due quadrati di lato 1 posti uno sull'altro. Successivamente, vengono affiancati nell'ordine gli altri quadrati in modo da ottenere un rettangolo. Infine, si tracciano i quarti di circonferenza tangenti ai quadrati. Dall'unione di questi archi raccordati si ottiene la spirale aurea approssimata detta anche spirale di Fibonacci.

Quale relazione c'è tra i numeri di Fibonacci e la sezione aurea? Consideriamo i rapporti tra due termini successivi della successione:

Come s'intuisce tale rapporto tende ad avvicinarsi sempre di più al numero aureo.