Un percorso matematico per le vie di Brescia

Tassellazioni regolari e semiregolari

Non sempre facciamo caso al pavimento che calpestiamo.

Che forma poligonale devono avere le piastrelle per poter ricoprire un piano senza lasciare buchi o sovrapposizioni? Questo problema è noto col nome di tassellazione del piano. Una tassellazione del piano consiste in un insieme di piastrelle di forma poligonale tali che ogni lato di una piastrella sia lato di una piastrella adiacente; ciò significa che le piastrelle sono disposte "lato a lato". Quando le piastrelle sono tutte uguali e hanno la forma di uno stesso poligono regolare si dice che la tasselazione è regolare. Quante tassellazioni regolari sono possibili? Con un pò di esperienza si intuisce che per non avere buchi o sovrapposizioni tra le piastrelle si devono rispettare due condizioni:

• Almeno tre piastrelle devono convergere in un vertice.

• La somma degli angoli delle piastrelle che convergono in un vertice deve essere uguale a un angolo giro e quindi è necessario che gli angoli del poligono regolare siano sottomultipli di 360°.

Se le piastrelle hanno la forma di un triangolo equilatero in ogni vertice ne devono convergere sei per rispettare le due condizioni.

Se le piastrelle hanno la forma di un quadrato in ogni vertice ne devono convergere quattro per rispettare le due condizioni.

Se le piastrelle hanno la forma di un esagono regolare in ogni vertice ne devono convergere tre per rispettare le due condizioni.

Non esiste invece una tassellazione con piastrelle che hanno la forma di un pentagono regolare perchè non è rispettata la seconda condizione. Gli angoli di un pentagono regolare misurano 108° accostando tre pentagoni la somma degli angoli che convengono in un vertice è di 324°, accostando quattro pentagoni la somma degli angoli che convengono in un vertice è di 432°.

Per lo stesso motivo non esistono tassellazioni regolari con piastrelle che abbiano più di sei lati e quindi ci sono solo tre tipi di tasselazioni regolari.

Quando le piastrelle hanno la forma di poligoni regolari ma non tutti dello stesso tipo e quelli dello stesso tipo sono congruenti e in ogni vertice sono presenti le stesse piastrelle si dice che la tasselazione è semiregolare. Ad esempio un tipo di tassellazione semiregolare possiamo osservarla nel Duomo Nuovo.

In ogni vertice convergono due ottagoni congruenti e un quadrato; la somma degli angoli che si incontrano in ogni vertice è:

135° + 135° + 90° = 360°

Quante tassellazioni semiregolari sono possibili?

Klepero dimostrò che le possibili tassellazioni semiregolari del piano sono in tutto otto.

• In due tassellazioni ci sono due tipi di piastrelle: quadrata e triangolare.

  

• In due tassellazioni ci sono due tipi di piastrelle: esagonale e triangolare.

  

• In una tassellazione ci sono due tipi di piastrelle: dodeganale e triangolare.

  

• In una tassellazione ci sono due tipi di piastrelle: ottagonale e quadrata.

  

• In una tassellazione ci sono tre tipi di piastrelle: esagonale, quadrata e triangolare.

  

• In una tassellazione ci sono tre tipi di piastrelle: dodeganale, esagonale e quadrata.