Un percorso matematico per le vie di Brescia

Simmetria assiale e specchi

Un asse di simmetria di una figura si comporta come uno specchio nel quale la figura si riflette. Ciò significa che se poniamo uno specchio verticalmente su una figura in modo che il bordo dello specchio coincida con l'asse di simmetria della figura vedremo due immagini quella reale (formata dalla metà della figura) e quella riflessa (immagine virtuale) dallo specchio, che insieme ricostruiscono l'intera figura. Ad esempio, se poniamo uno specchio lungo la diagonale di un quadrato vedremo la metà del quadrato insieme all'immagine riflessa ricostruire l'intera figura.

Lo specchio è senz'altro un oggetto di uso comune in cui ogni mattina osserviamo la nostra immagine e per esperienza sappiamo che l'immagine riflessa è invertita rispetto a quella reale. Se alziamo il braccio sinistro nell'immagine riflessa vediamo che si alza il braccio destro. Quando ribaltiamo una figura rispetto a un suo asse di simmetria questa torna su se stessa. C'ò qualcosa che ci permette di distinguere la figura iniziale da quella ribaltata? Facciamo un esperimento. Ritagliamo un quadrato di cartoncino e incolliamo uno stecchino in modo che passi per i punti medi di lati opposti. Disponiamo le lettere ai vertici del quadrato su entrambe le facce in senso orario.

Ribaltiamo la figura che cosa osserviamo? I vertici a destra dell'asse si scambiano con quelli a sinistra e la disposizione delle lettere è in senso antiorario.

Con un ribaltamento tutti i punti della figura cambiano posizione, tranne quelli che si trovano sulla retta di ribaltamento e quindi cambia la disposizione oraria o antioraria delle lettere ai vertici di una figura, cioè cambia l'orientamento della figura.

Con uno specchio si possono fare esperimenti per verificare la presenza o meno di un asse di riflessione di una figura. Ad esempio, se mettiamo uno specchio, verticalmente, lungo la diagonale di un rettangolo: tenendo conto dell'immagine riflessa e di quella reale, non si vedrebbe un rettangolo ma un deltoide, cioè un quadrilatero con due coppie di lati consecutivi uguali, perchè la diagonale non è un asse di simmetria del rettangolo.

Con uno specchio possiamo individuare anche il modulo di una figura simmetrica? Se la figura ha un solo asse di simmetria con uno specchio è possibile individuare il modulo posizionando lo specchio sopra la figura in modo che le due immagini quella reale e quella riflessa compongono l'intera figura. Se la figura ha più di un asse di simmetria per individuare il modulo della figura occorrono due specchi uniti lungo un lato con del nastro adesivo in modo da poter muovere liberamente i due specchi per formare un qualsiasi angolo tra le due superficie riflettenti. Abbiamo visto che un modulo di un quadrato è un quadrato che ha per lato la metà del quadrato iniziale.

Fissiamo a 90° l'angolo tra i due specchi e mettiamoli verticalmente su un quadrato in modo che tra i due specchi ci sia 1/4 della superficie del quadrato.

Che cosa vediamo? Vediamo quattro immagini; una reale e tre riflesse dai due specchi. Insieme queste quattro immagini compongono il nostro quadrato iniziale.

Fissiamo a 45° l'angolo tra i due specchi e mettiamoli verticalmente su un quadrato in modo che tra i due specchi ci sia 1/8 della superficie del quadrato.

Che cosa vediamo? Vediamo otto immagini; una reale e sette riflesse dai due specchi. Insieme queste otto immagini compongono il nostro quadrato iniziale. Possiamo prevedere il numero delle immagini reale e virtuali che vediamo tra due specchi uniti per un lato? Sí, se l'angolo tra i due specchi è di x gradi e x è un divisore di 360°. Il numero delle immagini visibili è dato dalla divisione 360° : x°. Ad esempio, se l'angolo tra i due specchi è di 180° vediamo 2 immagini, se è di 120° vediamo 3 immagini, se ò di 90° vediamo 4 immagini, se è di 60° vediamo 6 immagini, se è di 45° vediamo 8 immagini, se è di 30° vediamo 12 immagini.