Indice
Introduzione
La condizione di esistenza del triangolo
La struttura triangolare è indeformabile
Tracciamo un triangolo
Classificazione dei triangoli rispetto ai lati
Relazioni tra lati e angoli di un triangolo
Somma degli angoli interni di un triangolo
Classificazione dei triangoli rispetto agli angoli
Classificazione generale dei triangoli
Angoli esterni di un triangolo
Le altezze di un triangolo
Le mediane di un triangolo
Le bisettrici di un triangolo
Assi di un triangolo
Punti notevoli di un triangolo
I triangoli e la simmetria assiale
La simmetria rotazionale del triangolo equilatero
Il triangolo rettangolo e le sue proprietà
Uguaglianza di triangoli
Primo criterio di uguaglianza
Secondo criterio di uguaglianza
Terzo criterio di uguaglianza
Criteri di uguaglianza dei triangoli rettangoli
Triangoli equivalenti
Area di un triangolo
Teorema di Pick
Triangoli equivalenti per scorrimento
Trasformazione di un poligono in un triangolo equivalente
Equivalenza di un trapezio e di un triangolo
Somma di triangoli di uguale altezza
Equivalenza di un poligono regolare e di un triangolo
Equivalenza di un poligono circoscritto e di un triangolo
Equivalenza tra un cerchio e un triangolo
Triangolo equivalente a un triangolo con data altezza
Da un poligono a un rettangolo equivalente
Triangoli isoperimetrici
Il perimetro dei triangoli equivalenti
Proprietà duali
Perimetro e area
Massimo e minimo
Circonferenze inscritte e circoscritte nei triangoli
Triangoli simili
Primo criterio di similitudine
Secondo criterio di similitudine
Terzo criterio di similitudine
Proprietà dei triangoli simili
Triangoli omotetici
Triangoli simili in un triangolo rettangolo
Primo teorema di Euclide
Secondo teorema di Euclide
Teorema di Pitagora
Estensione del teorema di Pitagora
Triangoli particolari
Risoluzione di un triangolo rettangolo
Triangolo aureo
Triangolo di Sierpinski
Triangoli Eroniani
Teorema di Ceva
Il cerchio dei nove punti
Teorema di Napoleone Bonaparte
Teorema di Morley
Excentro
Angoli esterni di un triangolo
L'angolo formato da un lato e dal prolungamento del lato consecutivo viene chiamato angolo esterno del triangolo. Ad esempio, nel triangolo ABC il lato BC con il prolungamento del lato AC forma l'angolo esterno del triangolo adiacente all'angolo interno in C.
Per ogni vertice del triangolo ci sono due angoli esterni che sono congruenti perchè sono angoli opposti al vertice.
Se consideriamo un solo angolo esterno per ogni vertice, un triangolo ha tre angoli esterni.
Sappiamo che la somma degli angoli interni di un triangolo è di 180°, anche la somma degli angoli esterni è di 180°?
Consideriamo il triangolo ABC e l'angolo interno in B con il corrispondente angolo esterno. Se tiriamo verso l'alto il vertice B vediamo che l'angolo interno diminuisce mentre l'angolo esterno aumenta. Però, quello che "perde" l'angolo interno viene "guadagnato" dall'angolo esterno perchè la loro somma rimane costantemente uguale a un angolo piatto. Pertanto ogni angolo interno forma con il corrispondente angolo esterno un angolo piatto e complessivamente la somma dei tre angoli interni e dei tre angoli esterni è uguale a tre angoli piatti. Ora conoscendo che la somma degli angoli interni è uguale a un angolo piatto possiamo per differenza calcolare la somma degli angoli esterni. Scopriamo cosí che la risposta alla domanda iniziale è:
La somma degli angoli esterni di un triangolo è uguale a 360°.
Le considerazioni che abbiamo fatto per stabilire il valore della somma degli angoli esterni di un triangolo ci possono essere d'aiuto per scoprire un'altra proprietà degli angoli esterni di un triangolo.
La somma tra l'angolo interno in B con il corrispondente angolo esterno è uguale a un angolo piatto, ma anche la somma tra l'angolo interno in B e gli altri due angoli interni è uguale a un angolo piatto. Se da queste due somme uguali togliamo lo stesso angolo interno in B otteniamo due valori che continuano ad essere uguali. Da ciò si deduce:
Un angolo esterno di un triangolo è uguale alla somma dei due angoli interni non adiacenti.
