Cosa devi sapere sui triangoli

Punti notevoli di un triangolo

L'ortocentro, il baricentro, l'incentro e il circocentro vengono detti punti notevoli del triangolo. Nei paragrafi precedenti abbiamo visto che nei tre tipi di triangoli classificati rispetto agli angoli questi punti notevoli possono essere interni, esterni o sul contorno del triangolo:

Ortocentro	Baricentro	Incentro	Circocentro

• nei triangoli acutangoli l'ortocentro, il baricentro, l'incentro e il circocentro sono punti che si trovano sempre all'interno del triangolo;

• nei triangoli rettangoli il baricentro e l'incentro sono punti che si trovano all'interno del triangolo, l'ortocentro è un punto che coincide con il vertice dell'angolo retto e il circocentro è un punto che coincide con il punto medio dell'ipotenusa;

• nei triangoli ottusangoli il baricentro e l'incentro sono punti che si trovano all'interno del triangolo, mentre l'ortocentro e il circocentro sono punti che si trovano all'esterno del triangolo.

Vediamo ora alcune osservazioni sulle altezze, sulle mediane, sulle bisettrici, sugli assi e sui punti notevoli nei triangoli scaleni, isosceli e equilateri.

Disegniamo un triangolo scaleno e tracciamo l'altezza, la mediana e la bisettrice uscenti da uno stesso vertice. Tracciamo anche l'asse del triangolo relativo al lato opposto a tale vertice. Cosa osserviamo?

Una proprietà comune a tutti i triangoli scaleni:

In ogni triangolo scaleno, l'altezza, la mediana e la bisettrice condotte per uno stesso vertice sono tre segmenti distinti. Inoltre, nessuno di questi tre segmenti appartiene alla retta che è l'asse del lato del triangolo su cui hanno un estremo.

Se spostiamo il vertice B parallelamente al lato AC in modo che il triangolo ABC risulti isoscele (AB = BC) cosa succede all'altezza, alla mediana, alla bisettrice e all'asse relativi alla base?

L'altezza, la bisettrice, e la mediana condotte dal vertice alla base diventano segmenti coincidenti e giacenti sulla retta che è l'asse relativo alla base. E' questa una proprietà caratteristica dei triangoli isosceli:

In ogni triangolo isoscele l'altezza, la mediana e la bisettrice condotte per il vertice opposto alla base coincidono in un unico segmento.

Possiamo verificare questa proprietà piegando un modello di carta del triangolo isoscele in modo da far coincidere il vertice A con il vertice C. Osserviamo che la traccia della piegatura divide il triangolo isoscele in due triangoli perfettamente sovrapponibili.

Da ciò segue che la traccia della piegatura è:

• mediana perchè divide la base AC in due parti uguali;
• bisettrice perchè divide l'angolo in B in due angoli uguali;
• altezza perchè forma con la base due angoli adiacenti uguali e perciò retti;
• asse perchè è perpendicolare alla base nel suo punto medio.

Ora, se nel triangolo isoscele ABC tracciamo l'altezza, la mediana, la bisettrice e l'asse relative ad uno dei due lati uguali otteniamo ancora che i tre segmenti coincidono e sono sull'asse?

E' evidente che la risposta è no. Spostiamo il vertice B in modo che il triangolo ABC sia equilatero. Cosa succederà all'altezza, alla mediana, alla bisettrice e all'asse relative al lato BC?

Diventano segmenti coincidenti giacenti sull'asse del lato BC. La risposta era intuibile perchè un triangolo equilatero è un particolare triangolo isoscele (può essere considerato isoscele in tre modi differenti). Possiamo quindi dire che:

In ogni triangolo equilatero le altezze, le mediane, le bisettrici e gli assi relativi a ciascun lato coincidono e quindi anche ortocentro, baricentro, incentro e circocentro coincidono.

Nei triangoli isosceli i quattro punti notevoli non possono coincidere perchè le altezze, le mediane e le bisettrici relative ai lati obliqui non sono segmenti coincidenti. Viene allora spontaneo chiedersi: come sono disposti i quattro punti notevoli nei triangoli isosceli? Disegniamo un triangolo isoscele e tracciamo le altezze, le mediane, le bisettrici e gli assi relativi alla base e a un lato obliquo.

Ci rendiamo cosí conto che in un triangolo isoscele, l'ortocentro, il baricentro, l'incentro e il circocentro sono punti allineati su una stessa retta: l'asse relativo alla base (ricordiamoci che su quest'asse giacciono anche l'altezza, la mediana e la bisettrice)

Anche nei triangoli scaleni i quattro punti notevoli sono allineati su una stessa retta? Disegniamo un triangolo scaleno e tracciamo le altezze, le mediane, le bisettrici e gli assi relativi a due lati. Cosa osserviamo?

Solo l'ortocentro, il baricentro e il circocentro sono allineati su una stessa retta, detta retta di Eulero. Questa proprietà è comune a tutti i triangoli scaleni e a maggior ragione è comune a tutti i triangoli.