Indice
Introduzione
La condizione di esistenza del triangolo
La struttura triangolare è indeformabile
Tracciamo un triangolo
Classificazione dei triangoli rispetto ai lati
Relazioni tra lati e angoli di un triangolo
Somma degli angoli interni di un triangolo
Classificazione dei triangoli rispetto agli angoli
Classificazione generale dei triangoli
Angoli esterni di un triangolo
Le altezze di un triangolo
Le mediane di un triangolo
Le bisettrici di un triangolo
Assi di un triangolo
Punti notevoli di un triangolo
I triangoli e la simmetria assiale
La simmetria rotazionale del triangolo equilatero
Il triangolo rettangolo e le sue proprietà
Uguaglianza di triangoli
Primo criterio di uguaglianza
Secondo criterio di uguaglianza
Terzo criterio di uguaglianza
Criteri di uguaglianza dei triangoli rettangoli
Triangoli equivalenti
Area di un triangolo
Teorema di Pick
Triangoli equivalenti per scorrimento
Trasformazione di un poligono in un triangolo equivalente
Equivalenza di un trapezio e di un triangolo
Somma di triangoli di uguale altezza
Equivalenza di un poligono regolare e di un triangolo
Equivalenza di un poligono circoscritto e di un triangolo
Equivalenza tra un cerchio e un triangolo
Triangolo equivalente a un triangolo con data altezza
Da un poligono a un rettangolo equivalente
Triangoli isoperimetrici
Il perimetro dei triangoli equivalenti
Proprietà duali
Perimetro e area
Massimo e minimo
Circonferenze inscritte e circoscritte nei triangoli
Triangoli simili
Primo criterio di similitudine
Secondo criterio di similitudine
Terzo criterio di similitudine
Proprietà dei triangoli simili
Triangoli omotetici
Triangoli simili in un triangolo rettangolo
Primo teorema di Euclide
Secondo teorema di Euclide
Teorema di Pitagora
Estensione del teorema di Pitagora
Triangoli particolari
Risoluzione di un triangolo rettangolo
Triangolo aureo
Triangolo di Sierpinski
Triangoli Eroniani
Teorema di Ceva
Il cerchio dei nove punti
Teorema di Napoleone Bonaparte
Teorema di Morley
Excentro
Il cerchio dei nove punti
Dato un triangolo ABC, il triangolo che ha per vertici i punti medi dei lati AB, BC e CA è detto triangolo mediano
Il triangolo mediano è simile al triangolo ABC (i lati del triangolo mediano sono paralleli ai lati del triangolo ABC e quindi hanno gli angoli corrispondenti congruenti) e il rapporto di similitudine è 1 : 2. Inoltre, i due triangoli hanno lo stesso baricentro perchè coincidono le rispettive mediane.
Come si vede dalla figura il triangolo mediano risulta ruotato di 180° intorno al baricentro rispetto al triangolo ABC.
Dato un triangolo acutangolo ABC, il triangolo che ha per vertici i piedi delle tre altezze è detto triangolo ortico
Il triangolo ortico presenta particolari proprietà:
Le altezze del triangolo ABC sono le bisettrici del triangolo ortico per cui l'ortocentro del triangolo ABC coincide con l'incentro del triangolo ortico.
Gli angoli del triangolo ortico sono supplementari dei doppi degli angoli del triangolo ABC.
Fra tutti i triangoli inscritti in un triangolo acutangolo, il triangolo ortico è quello con il perimetro minore.
Nel triangolo rettangolo il triangolo ortico degenera nell'altezza relativa all'ipotenusa.
Il triangolo mediano e il triangolo ortico hanno lo stesso cerchio circoscritto e quindi lo stesso circocentro.
Il cerchio comune al triangolo mediano e al triangolo ortico è detto cerchio di Feuerbach o anche cerchio dei nove punti perchè passa anche per nove punti; i tre punti medi dei lati del triangolo ABC, i tre piedi delle altezze del triangolo ABC e punti medi delle tre congiugenti l'ortocentro con i vertici.
