Indice
Introduzione
La condizione di esistenza del triangolo
La struttura triangolare è indeformabile
Tracciamo un triangolo
Classificazione dei triangoli rispetto ai lati
Relazioni tra lati e angoli di un triangolo
Somma degli angoli interni di un triangolo
Classificazione dei triangoli rispetto agli angoli
Classificazione generale dei triangoli
Angoli esterni di un triangolo
Le altezze di un triangolo
Le mediane di un triangolo
Le bisettrici di un triangolo
Assi di un triangolo
Punti notevoli di un triangolo
I triangoli e la simmetria assiale
La simmetria rotazionale del triangolo equilatero
Il triangolo rettangolo e le sue proprietà
Uguaglianza di triangoli
Primo criterio di uguaglianza
Secondo criterio di uguaglianza
Terzo criterio di uguaglianza
Criteri di uguaglianza dei triangoli rettangoli
Triangoli equivalenti
Area di un triangolo
Teorema di Pick
Triangoli equivalenti per scorrimento
Trasformazione di un poligono in un triangolo equivalente
Equivalenza di un trapezio e di un triangolo
Somma di triangoli di uguale altezza
Equivalenza di un poligono regolare e di un triangolo
Equivalenza di un poligono circoscritto e di un triangolo
Equivalenza tra un cerchio e un triangolo
Triangolo equivalente a un triangolo con data altezza
Da un poligono a un rettangolo equivalente
Triangoli isoperimetrici
Il perimetro dei triangoli equivalenti
Proprietà duali
Perimetro e area
Massimo e minimo
Circonferenze inscritte e circoscritte nei triangoli
Triangoli simili
Primo criterio di similitudine
Secondo criterio di similitudine
Terzo criterio di similitudine
Proprietà dei triangoli simili
Triangoli omotetici
Triangoli simili in un triangolo rettangolo
Primo teorema di Euclide
Secondo teorema di Euclide
Teorema di Pitagora
Estensione del teorema di Pitagora
Triangoli particolari
Risoluzione di un triangolo rettangolo
Triangolo aureo
Triangolo di Sierpinski
Triangoli Eroniani
Teorema di Ceva
Il cerchio dei nove punti
Teorema di Napoleone Bonaparte
Teorema di Morley
Excentro
Il triangolo rettangolo e le sue proprietà
Il triangolo rettangolo ha numerose proprietà, che possono essere scoperte facilmente. Vediamone alcune.
Tiriamo verticalmente verso l'alto il vertice B del triangolo rettangolo ABC. Come possiamo vedere l'angolo in A rimane sempre di 90°, mentre gli angoli in B e in C variano. L'angolo in B diminuisce, mentre l'angolo in C aumenta. Ora chiediamoci: gli angoli in B e in C sono legati da una forma di compensazione? In altre parole, la loro somma rimane costante durante la trasformazione? Sí perchè la loro somma deve essere per forza uguale ad un angolo retto affinchè la somma dei tre angoli interni del triangolo rettangolo sia uguale ad un angolo piatto. Possiamo allora dire:
In ogni triangolo rettangolo i due angoli acuti sono tra loro complementari, cioè la loro somma è un angolo retto.
Disegniamo un triangolo rettangolo ABC e tracciamo la mediana relativa all'ipotenusa.
Cosa possiamo osservare?
La mediana AM divide il triangolo ABC in due triangoli ABM e AMC entrambi isosceli. Proviamolo. Ritagliamo il triangolo ABC e pieghiamolo prima lungo l'asse relativo al lato AC e poi lungo l'asse relativo al lato AB. Possiamo quindi renderci conto che, alla fine delle due piegature, i due vertici C e B coincidono con il vertice A e i segmenti MC, BM e la mediana AM si sovrappongono perfettamente. Possiamo allora dire:
In ogni triangolo rettangolo la mediana relativa all'ipotenusa è la metà dell'ipotenusa stessa.
Di conseguenza il punto M è equidistante dai tre vertici del triangolo e quindi coincide con il circocentro del triangolo. Se tracciamo il cerchio circoscritto al triangolo rettangolo ABC possiamo osservare che l'ipotenusa è un diametro del cerchio e il vertice dell'angolo retto è sulla circonferenza.
Possiamo verificare che è vera anche la proprietà inversa:
Se un triangolo ha un vertice A su una circonferenza e gli altri due vertici sono gli estremi di un diametro allora il triangolo è rettangolo in A.
Possiamo utilizzare questa proprietà per costruire un triangolo rettangolo conoscendo solo la lunghezza dell'ipotenusa e di un cateto.
Ad esempio per costruire il triangolo rettangolo ABC avente per ipotenusa e per cateto rispettivamente i segmenti BC e AC possiamo procedere in questo modo: tracciamo la circonferenza di diametro BC, poi con centro in C tracciamo un arco di circonferenza di raggio AC che tagli la circonferenza in A, infine congiungiamo A con B e con C. Il triangolo ABC è retto in A e ha l'ipotenusa e un cateto uguali rispettivamente ai due segmenti dati.
