Cosa devi sapere sui triangoli

Il triangolo rettangolo e le sue proprietà

Il triangolo rettangolo ha numerose proprietà, che possono essere scoperte facilmente. Vediamone alcune.

Tiriamo verticalmente verso l'alto il vertice B del triangolo rettangolo ABC. Come possiamo vedere l'angolo in A rimane sempre di 90°, mentre gli angoli in B e in C variano. L'angolo in B diminuisce, mentre l'angolo in C aumenta. Ora chiediamoci: gli angoli in B e in C sono legati da una forma di compensazione? In altre parole, la loro somma rimane costante durante la trasformazione? Sí perchè la loro somma deve essere per forza uguale ad un angolo retto affinchè la somma dei tre angoli interni del triangolo rettangolo sia uguale ad un angolo piatto. Possiamo allora dire:

In ogni triangolo rettangolo i due angoli acuti sono tra loro complementari, cioè la loro somma è un angolo retto.

Disegniamo un triangolo rettangolo ABC e tracciamo la mediana relativa all'ipotenusa.

Cosa possiamo osservare?

La mediana AM divide il triangolo ABC in due triangoli ABM e AMC entrambi isosceli. Proviamolo. Ritagliamo il triangolo ABC e pieghiamolo prima lungo l'asse relativo al lato AC e poi lungo l'asse relativo al lato AB. Possiamo quindi renderci conto che, alla fine delle due piegature, i due vertici C e B coincidono con il vertice A e i segmenti MC, BM e la mediana AM si sovrappongono perfettamente. Possiamo allora dire:

In ogni triangolo rettangolo la mediana relativa all'ipotenusa è la metà dell'ipotenusa stessa.

Di conseguenza il punto M è equidistante dai tre vertici del triangolo e quindi coincide con il circocentro del triangolo. Se tracciamo il cerchio circoscritto al triangolo rettangolo ABC possiamo osservare che l'ipotenusa è un diametro del cerchio e il vertice dell'angolo retto è sulla circonferenza.

Possiamo verificare che è vera anche la proprietà inversa:

Se un triangolo ha un vertice A su una circonferenza e gli altri due vertici sono gli estremi di un diametro allora il triangolo è rettangolo in A.

Possiamo utilizzare questa proprietà per costruire un triangolo rettangolo conoscendo solo la lunghezza dell'ipotenusa e di un cateto.

Ad esempio per costruire il triangolo rettangolo ABC avente per ipotenusa e per cateto rispettivamente i segmenti BC e AC possiamo procedere in questo modo: tracciamo la circonferenza di diametro BC, poi con centro in C tracciamo un arco di circonferenza di raggio AC che tagli la circonferenza in A, infine congiungiamo A con B e con C. Il triangolo ABC è retto in A e ha l'ipotenusa e un cateto uguali rispettivamente ai due segmenti dati.