Cosa devi sapere sui triangoli

La condizione di esistenza del triangolo

Il triangolo è la parte di piano limitata da tre segmenti collegati tra loro agli estremi in modo che la figura sia chiusa.

Il triangolo, come dice il nome, è un poligono formato da tre angoli ma anche da tre lati AB, BC, CA e da tre vertici A, B, C.

Se su un foglio di carta tracciamo tre punti non allineati e poi li congiungiamo a due a due con un segmento vediamo che è sempre possibile ottenere un triangolo.

Ma, se abbiamo tre segmenti qualsiasi, è sempre possibile costruire un triangolo con i lati congruenti ai tre segmenti?

Come possiamo vedere dal modello, con i segmenti AB, AC e CD non riusciamo a formare un triangolo. I segmenti AB e CD fissati alle due estremità di AC non si incontrano perchè descrivono due circonferenze che non hanno punti in comune. Ma perchè con questi tre segmenti non riusciamo a ottenere un triangolo? Perchè la somma delle lunghezze di AB e DC è minore della lunghezza di AC. Possiamo verificarlo costruendo un modello reale formato da tre strisce di cartoncino forate alle due estremità lunghe rispettivamente 28 cm, 10 cm e 12 cm (attenzione le misure rappresentano le distanze fra i fori) e due fermacampioni. Non riusciremo mai a collegare consecutivamente le tre striscioline in modo da ottenere un triangolo.

Proviamo allora a ridurre il segmento AC in modo che la sua lunghezza sia uguale alla somma degli altri due e vediamo se, in questo caso, riusciamo a formare un triangolo.

Ora, gli estremi liberi B e D descrivono due circonferenze che si incontrano in un punto che giace su AC. Ma in questa situazione AB e CD ricoprono perfettamente AC. Di consequenza anche con questi tre segmenti non riusciamo costruire un triangolo. Spesso è utile considerare questo caso come una situazione "limite" in cui il triangolo è talmente "schiacciato" da degenerare nella sovrapposizione dei tre lati. Possiamo renderci conto di ciò con tre strisce di cartoncino lunghe rispettivamente 22 cm, 10 cm e 12 cm e tre fermacampioni. E' possibile collegare consecutivamente le tre strisce solo se sono perfettamente allineate.

Riduciamo ulteriormente la lunghezza del segmento AC in modo che sia minore della somma degli altri due ma maggiore della loro differenza.

Questa volta gli estremi liberi B e D descrivono due circonferenze che si incontrano in due punti esterni ad AC. In ognuna di queste due situazioni i tre segmenti AB, DC e CA formano un triangolo. Se osserviamo questi due triangoli ci rendiamo conto che sono congruenti (uguali) e simmetrici rispetto ad AC.

Possiamo vedere concretamente che con tre strisce di cartoncino lunghe rispettivamente 17 cm, 10 cm e 12 cm si forma un triangolo.

Quale conclusione possiamo trarre da questi modelli? Per costruire un triangolo di dati lati occorre che ognuno di questi sia minore della somma degli altri due.

Abbiamo cosí scoperto sperimentalmente una proprietà generale dei triangoli:

In ogni triangolo ciascun lato è minore della somma degli altri due.

Questa proprietò dei triangoli è in perfetta sintonia con l'intuizione che il percorso più breve tra due punti è quello che corre lungo il segmento di retta avente quei punti come estremi. Infatti, se vogliamo fare il cammino più breve per andare dalla località A alla località B certamente non passeremo prima per la località C che non è allineata con A e B.