Indice
Introduzione
La condizione di esistenza del triangolo
La struttura triangolare è indeformabile
Tracciamo un triangolo
Classificazione dei triangoli rispetto ai lati
Relazioni tra lati e angoli di un triangolo
Somma degli angoli interni di un triangolo
Classificazione dei triangoli rispetto agli angoli
Classificazione generale dei triangoli
Angoli esterni di un triangolo
Le altezze di un triangolo
Le mediane di un triangolo
Le bisettrici di un triangolo
Assi di un triangolo
Punti notevoli di un triangolo
I triangoli e la simmetria assiale
La simmetria rotazionale del triangolo equilatero
Il triangolo rettangolo e le sue proprietà
Uguaglianza di triangoli
Primo criterio di uguaglianza
Secondo criterio di uguaglianza
Terzo criterio di uguaglianza
Criteri di uguaglianza dei triangoli rettangoli
Triangoli equivalenti
Area di un triangolo
Teorema di Pick
Triangoli equivalenti per scorrimento
Trasformazione di un poligono in un triangolo equivalente
Equivalenza di un trapezio e di un triangolo
Somma di triangoli di uguale altezza
Equivalenza di un poligono regolare e di un triangolo
Equivalenza di un poligono circoscritto e di un triangolo
Equivalenza tra un cerchio e un triangolo
Triangolo equivalente a un triangolo con data altezza
Da un poligono a un rettangolo equivalente
Triangoli isoperimetrici
Il perimetro dei triangoli equivalenti
Proprietà duali
Perimetro e area
Massimo e minimo
Circonferenze inscritte e circoscritte nei triangoli
Triangoli simili
Primo criterio di similitudine
Secondo criterio di similitudine
Terzo criterio di similitudine
Proprietà dei triangoli simili
Triangoli omotetici
Triangoli simili in un triangolo rettangolo
Primo teorema di Euclide
Secondo teorema di Euclide
Teorema di Pitagora
Estensione del teorema di Pitagora
Triangoli particolari
Risoluzione di un triangolo rettangolo
Triangolo aureo
Triangolo di Sierpinski
Triangoli Eroniani
Teorema di Ceva
Il cerchio dei nove punti
Teorema di Napoleone Bonaparte
Teorema di Morley
Excentro
Secondo teorema di Euclide
Consideriamo il triangolo rettangolo ABC in figura.
Poichè ABH e BCH sono simili possiamo scrivere:
cioè il cateto minore di ABH sta al cateto minore di BCH come il cateto maggiore di ABH sta al cateto maggiore BCH. Ne segue l'uguaglianza:
che esprime il secondo teorema di Euclide. Anche questa uguaglianza ha un'interpretazione geometrica:
Secondo teorema di Euclide:
L'area del quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è uguale all'area del rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.
Consideriamo la figura costituita dal triangolo rettangolo, dal quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa e dal rettangolo che ha per lati le proiezioni dei cateti
Costruiamo due triangoli rettangoli, un quadrato e un rettangolo uguali a quelli della figura precedente.
Assemblando i due triangoli rettangoli e il quadrato otteniamo un triangolo rettangolo che ha i cateti lunghi rispettivamente h+p e h+q, invece assemblando i due triangoli rettangoli e il rettangolo otteniamo ancora un triangolo rettangolo che ha i cateti lunghi rispettivamente h+p e h+q.
Da ciò si deduce l'equivalenza tra il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa e il rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.
