Indice
Introduzione
La condizione di esistenza del triangolo
La struttura triangolare è indeformabile
Tracciamo un triangolo
Classificazione dei triangoli rispetto ai lati
Relazioni tra lati e angoli di un triangolo
Somma degli angoli interni di un triangolo
Classificazione dei triangoli rispetto agli angoli
Classificazione generale dei triangoli
Angoli esterni di un triangolo
Le altezze di un triangolo
Le mediane di un triangolo
Le bisettrici di un triangolo
Assi di un triangolo
Punti notevoli di un triangolo
I triangoli e la simmetria assiale
La simmetria rotazionale del triangolo equilatero
Il triangolo rettangolo e le sue proprietà
Uguaglianza di triangoli
Primo criterio di uguaglianza
Secondo criterio di uguaglianza
Terzo criterio di uguaglianza
Criteri di uguaglianza dei triangoli rettangoli
Triangoli equivalenti
Area di un triangolo
Teorema di Pick
Triangoli equivalenti per scorrimento
Trasformazione di un poligono in un triangolo equivalente
Equivalenza di un trapezio e di un triangolo
Somma di triangoli di uguale altezza
Equivalenza di un poligono regolare e di un triangolo
Equivalenza di un poligono circoscritto e di un triangolo
Equivalenza tra un cerchio e un triangolo
Triangolo equivalente a un triangolo con data altezza
Da un poligono a un rettangolo equivalente
Triangoli isoperimetrici
Il perimetro dei triangoli equivalenti
Proprietà duali
Perimetro e area
Massimo e minimo
Circonferenze inscritte e circoscritte nei triangoli
Triangoli simili
Primo criterio di similitudine
Secondo criterio di similitudine
Terzo criterio di similitudine
Proprietà dei triangoli simili
Triangoli omotetici
Triangoli simili in un triangolo rettangolo
Primo teorema di Euclide
Secondo teorema di Euclide
Teorema di Pitagora
Estensione del teorema di Pitagora
Triangoli particolari
Risoluzione di un triangolo rettangolo
Triangolo aureo
Triangolo di Sierpinski
Triangoli Eroniani
Teorema di Ceva
Il cerchio dei nove punti
Teorema di Napoleone Bonaparte
Teorema di Morley
Excentro
Triangolo aureo
Un triangolo isoscele con gli angoli alla base di 72° e l'angolo al vertice di 36° è detto triangolo aureo. Tutti i triangoli aurei sono simili tra loro.
La particolarità di questi triangoli è data dal rapporto tra il lato obliquo e la base che è sempre un numero fisso detto rapporto aureo o numero aureo che si indica con la lettera greca φ.
Che cosa ha di particolare questo numero? Gli antichi Greci ritenevano che un oggetto sia più armonioso e bello da vedere solo se il rapporto fra le dimensione dell'oggetto sia uguale a questo numero.
Se tracciamo la bisettrice di uno degli angoli alla base si ottiene un triangolo isoscele con un angolo al vertice di 108° e un altro triangolo aureo. Ripetendo più volte quest'operazione si ottiene una serie di triangoli aurei sempre più piccoli. Puntando il compasso nei vertici dei triangoli isosceli con l'angolo di 108° possiamo tracciare una successione di archi di circonferenza ampi 108° che insieme formano una pseudo spirale aurea.
Il triangolo aureo è presente in un pentagono regolare tracciando due diagonali da uno stesso vertice:
O in un decagono regolare tracciando le diagonali tra due vertici opposti rispetto il centro del poligono:
