Cosa devi sapere sui triangoli

Triangoli Eroniani

Tutti i triangoli con i lati e l'area espressi da numeri interi sono chiamati eroniani e i tre numeri interi, che rappresentano le misure dei lati, costituiscono una terna eroniana. Ogni triangolo pitagorico ha i lati e l'area espressa da numeri interi pertanto tutti i triangoli pitagorici sono anche triangoli eroniani. Viene spontaneo chiedersi: esistono triangoli eroniani che non siano triangoli rettangoli? Sí esistono infiniti triangoli eroniani non rettangoli. C'è un metodo molto semplice per ottenere triangoli eroniani non rettangoli: accostando i cateti uguali di due triangoli pitagorici congruenti, in modo che gli altri due cateti siano da parte opposta. Ad esempio con i due triangoli pitagorici 3, 4, 5 otteniamo i due triangoli eroniani 5, 6, 5 e 5, 8, 5 aventi entrambi l'area uguale a 12.

Otteniamo cosí due triangoli isosceli non rettangoli. Questi due triangoli isosceli sono eroniani, perchè l'area di ciascun triangolo è un numero intero, essendo la somma delle aree intere dei due triangoli pitagorici congruenti.

Possiamo accostare anche due triangoli pitagorici diversi che abbiano, però, un cateto uguale. Anche in questo caso per ogni coppia di triangoli pitagorici possiamo ottenere due tipi di triangoli eroniani. Il primo si forma dalla somma o unione dei due triangoli pitagorici e si ottiene accostando i due cateti uguali in modo che gli altri due cateti non uguali siano da parti opposte. Ad esempio accostando i cateti uguali dei triangoli pitagorici 5, 12, 13 e 9, 12, 15 si ottiene per somma il triangolo eroniano 13, 14, 15 con l'area di 84.

Il secondo triangolo eroniano si forma dalla differenza dei due triangoli pitagorici e si ottiene accostando i due cateti uguali in modo che gli altri due cateti non uguali siano dalla stessa parte. Il triangolo che risulta dalla differenza tra i due triangoli è eroniano. Ad esempio accostando i cateti uguali dei triangoli pitagorici 5, 12, 13 e 9, 12, 15 si ottiene per differenza il triangolo eroniano 4, 13, 15 con l'area di 24.

Vediamo alcune proprietà comuni a tutti i triangoli eroniani:

• a) Le altezze sono necessariamente espresse da numeri razionali.

  L'altezza è data dalla doppia area divisa per la base, (h = 2A/b), e queste due grandezze, per definizione, sono entrambe espresse da numeri interi. Pertanto il loro rapporto è necessariamente un numero razionale. Ad esempio nel triangolo eroniano con i lati 13, 14, 15 le altezze relative sono rispettivamente 168/13, 12, 56/5. Se moltiplichiamo i lati di questo triangolo per 65, che è il minimo comune multiplo di 13 e 5, otteniamo il triangolo con i lati 845, 910, 975, con le altezze espresse da tre numeri interi 840, 780, 728. Se un triangolo eroniano è ottenuto come somma o come differenza di due triangoli pitagorici con un cateto uguale allora almeno un'altezza di tale triangolo è espressa da un numero intero.

• b) Un triangolo eroniano non può essere equilatero.

  Un triangolo equilatero con i lati interi ha necessariamente le altezze espresse da un numero irrazionale (h = √3 /2) e quindi anche l'area è espressa da un numero irrazionale.

• c) Il perimetro è sempre un numero pari.

  Supponiamo per assurdo che il perimetro sia dispari allora il semiperimetro è un numero decimale avente come cifra decimale il 5. Ora dalla formula di Erone:

  A² = s(s – a)(s – b)(s – c)

  segue, che se a, b, c sono interi e s è decimale allora il secondo membro dell'uguaglianza è necessariamente un numero decimale e quindi anche l'area è un numero decimale e questo è in contraddizione con la definizione di triangolo eroniano. Da ciò segue che i lati di un triangolo eroniani non possono essere tutti dispari. Sono o tutti pari oppure uno pari e due dispari.

• d) L'area di un triangolo eroniano è sempre multiplo di 6.

  Un triangolo eroniano, a meno di una similitudine, si ottiene dall'unione o dalla differenza di due triangoli pitagorici. L'area di ogni triangolo pitagorico è un multiplo di sei e la somma o la differenza di due multipli di sei è ancora un multiplo di sei

  6m + 6n = 6(m + n);     6m – 6n = 6(m – n)