Indice
Introduzione
La condizione di esistenza del triangolo
La struttura triangolare è indeformabile
Tracciamo un triangolo
Classificazione dei triangoli rispetto ai lati
Relazioni tra lati e angoli di un triangolo
Somma degli angoli interni di un triangolo
Classificazione dei triangoli rispetto agli angoli
Classificazione generale dei triangoli
Angoli esterni di un triangolo
Le altezze di un triangolo
Le mediane di un triangolo
Le bisettrici di un triangolo
Assi di un triangolo
Punti notevoli di un triangolo
I triangoli e la simmetria assiale
La simmetria rotazionale del triangolo equilatero
Il triangolo rettangolo e le sue proprietà
Uguaglianza di triangoli
Primo criterio di uguaglianza
Secondo criterio di uguaglianza
Terzo criterio di uguaglianza
Criteri di uguaglianza dei triangoli rettangoli
Triangoli equivalenti
Area di un triangolo
Teorema di Pick
Triangoli equivalenti per scorrimento
Trasformazione di un poligono in un triangolo equivalente
Equivalenza di un trapezio e di un triangolo
Somma di triangoli di uguale altezza
Equivalenza di un poligono regolare e di un triangolo
Equivalenza di un poligono circoscritto e di un triangolo
Equivalenza tra un cerchio e un triangolo
Triangolo equivalente a un triangolo con data altezza
Da un poligono a un rettangolo equivalente
Triangoli isoperimetrici
Il perimetro dei triangoli equivalenti
Proprietà duali
Perimetro e area
Massimo e minimo
Circonferenze inscritte e circoscritte nei triangoli
Triangoli simili
Primo criterio di similitudine
Secondo criterio di similitudine
Terzo criterio di similitudine
Proprietà dei triangoli simili
Triangoli omotetici
Triangoli simili in un triangolo rettangolo
Primo teorema di Euclide
Secondo teorema di Euclide
Teorema di Pitagora
Estensione del teorema di Pitagora
Triangoli particolari
Risoluzione di un triangolo rettangolo
Triangolo aureo
Triangolo di Sierpinski
Triangoli Eroniani
Teorema di Ceva
Il cerchio dei nove punti
Teorema di Napoleone Bonaparte
Teorema di Morley
Excentro
Le mediane di un triangolo
In un triangolo il segmento congiungente un vertice col punto medio del lato opposto si chiama mediana. Ad esempio, nel triangolo ABC il segmento BM è la mediana del triangolo relativa al lato AC.
Naturalmente ogni triangolo ha tre mediane, una relativa ad ogni lato. Se tracciamo i tre tipi di triangoli, (acutangolo, rettangolo e ottusangolo), e per ognuno tracciamo le tre mediane possiamo scoprire che:
In ogni triangolo le tre mediane passano per uno stesso punto detto baricentro.
Il punto di intersezione delle mediane è stato chiamato baricentro perchè ha una particolare proprietà: è il punto di equilibrio del triangolo.
Possiamo verificare che il baricentro è il punto di equilibrio del triangolo in questo modo: ritagliamo da un cartoncino robusto un triangolo e tracciamo le tre mediane in modo da individuare il suo baricentro. Poi pratichiamo un foro in corrispondenza del baricentro e facciamo passare attraverso il foro un filo con un nodo alla sua estremità. Prendiamo l'altro capo del filo e teniamo sospeso il triangolo. Cosa osserviamo? Il triangolo rimane in equilibrio, disponendosi parallelamente al piano del pavimento, come se tutto il suo peso fosse "concentrato" in quel punto. Il baricentro è l'unico punto che gode di questa proprietà se sospendiamo il triangolo, prendendo un altro suo punto interno, vedremo che il triangolo non si dispone parallelamente al pavimento. Per questo motivo, il baricentro è anche detto centro di gravità. Il centro di gravità di un oggetto non può essere un punto esterno all'oggetto; infatti il baricentro è sempre interno al triangolo.
Il baricentro di un triangolo ha un'altra proprietà che possiamo verificare facilmente. Disegniamo un triangolo qualsiasi e tracciamo le tre mediane. Misuriamo poi i due segmenti in cui ogni mediana viene divisa dal baricentro. Dal confronto delle due lunghezze cosa osserviamo?
Il baricentro divide ogni mediana in due parti di cui una, quella contenente il vertice, è doppia dell'altra.
