Indice
Introduzione
La condizione di esistenza del triangolo
La struttura triangolare è indeformabile
Tracciamo un triangolo
Classificazione dei triangoli rispetto ai lati
Relazioni tra lati e angoli di un triangolo
Somma degli angoli interni di un triangolo
Classificazione dei triangoli rispetto agli angoli
Classificazione generale dei triangoli
Angoli esterni di un triangolo
Le altezze di un triangolo
Le mediane di un triangolo
Le bisettrici di un triangolo
Assi di un triangolo
Punti notevoli di un triangolo
I triangoli e la simmetria assiale
La simmetria rotazionale del triangolo equilatero
Il triangolo rettangolo e le sue proprietà
Uguaglianza di triangoli
Primo criterio di uguaglianza
Secondo criterio di uguaglianza
Terzo criterio di uguaglianza
Criteri di uguaglianza dei triangoli rettangoli
Triangoli equivalenti
Area di un triangolo
Teorema di Pick
Triangoli equivalenti per scorrimento
Trasformazione di un poligono in un triangolo equivalente
Equivalenza di un trapezio e di un triangolo
Somma di triangoli di uguale altezza
Equivalenza di un poligono regolare e di un triangolo
Equivalenza di un poligono circoscritto e di un triangolo
Equivalenza tra un cerchio e un triangolo
Triangolo equivalente a un triangolo con data altezza
Da un poligono a un rettangolo equivalente
Triangoli isoperimetrici
Il perimetro dei triangoli equivalenti
Proprietà duali
Perimetro e area
Massimo e minimo
Circonferenze inscritte e circoscritte nei triangoli
Triangoli simili
Primo criterio di similitudine
Secondo criterio di similitudine
Terzo criterio di similitudine
Proprietà dei triangoli simili
Triangoli omotetici
Triangoli simili in un triangolo rettangolo
Primo teorema di Euclide
Secondo teorema di Euclide
Teorema di Pitagora
Estensione del teorema di Pitagora
Triangoli particolari
Risoluzione di un triangolo rettangolo
Triangolo aureo
Triangolo di Sierpinski
Triangoli Eroniani
Teorema di Ceva
Il cerchio dei nove punti
Teorema di Napoleone Bonaparte
Teorema di Morley
Excentro
Assi di un triangolo
La retta perpendicolare a un lato di un triangolo nel suo punto medio si chiama asse del triangolo. Ad esempio, nel triangolo ABC la retta r è l'asse del triangolo rispetto al lato AC.
Poichè un triangolo ha tre lati ha, anche tre assi, uno relativo ad ogni lato.
Se disegniamo i tre tipi di triangoli, (acutangolo, rettangolo e ottusangolo), e per ognuno tracciamo i tre assi scopriremo che:
In ogni triangolo i tre assi si incontrano in un punto detto circocentro.
Inoltre, possiamo renderci conto che il circocentro è:
interno nei triangoli acutangoli;
coincidente con il punto medio dell'ipotenusa nei triangoli rettangoli;
esterno nei triangoli ottusangoli.
Disegniamo un triangolo ABC, tracciamo i tre assi e indichiamo con H il loro punto di intersezione.
Congiungiamo il punto H con i tre vertici del triangolo. Infine, con una squadra, misuriamo le lunghezze di questi tre segmenti. Cosa osserviamo? I tre segmenti sono uguali fra loro. Abbiamo cosí scoperto una proprietà comune a tutti i triangoli:
In ogni triangolo il circocentro è equidistante dai tre vertici.
Possiamo verificarlo tracciando una circonferenza avente per centro il circocentro e per raggio la distanza del circocentro da un vertice. Come si vede la circonferenza passa per i tre vertici del triangolo e quindi è circoscritta al triangolo. Questa proprietà del circocentro poteva essere prevista con un ragionamento? Sí, se teniamo presente che l'asse di un segmento ha una particolare proprietà:
Tutti i suoi punti sono equidistanti dagli estremi del segmento.
Ora, il circocentro H del triangolo ABC appartenendo contemporaneamente ai tre assi deve essere per forza equidistante dagli estremi dei tre segmenti AB, BC, AC e quindi deve essere equidistante dai tre vertici del triangolo.
In conclusione possiamo dire che a ogni triangolo si può sempre circoscrivere una circonferenza. Il centro di questa circonferenza è il circocentro del triangolo.
