Indice
Introduzione
La condizione di esistenza del triangolo
La struttura triangolare è indeformabile
Tracciamo un triangolo
Classificazione dei triangoli rispetto ai lati
Relazioni tra lati e angoli di un triangolo
Somma degli angoli interni di un triangolo
Classificazione dei triangoli rispetto agli angoli
Classificazione generale dei triangoli
Angoli esterni di un triangolo
Le altezze di un triangolo
Le mediane di un triangolo
Le bisettrici di un triangolo
Assi di un triangolo
Punti notevoli di un triangolo
I triangoli e la simmetria assiale
La simmetria rotazionale del triangolo equilatero
Il triangolo rettangolo e le sue proprietà
Uguaglianza di triangoli
Primo criterio di uguaglianza
Secondo criterio di uguaglianza
Terzo criterio di uguaglianza
Criteri di uguaglianza dei triangoli rettangoli
Triangoli equivalenti
Area di un triangolo
Teorema di Pick
Triangoli equivalenti per scorrimento
Trasformazione di un poligono in un triangolo equivalente
Equivalenza di un trapezio e di un triangolo
Somma di triangoli di uguale altezza
Equivalenza di un poligono regolare e di un triangolo
Equivalenza di un poligono circoscritto e di un triangolo
Equivalenza tra un cerchio e un triangolo
Triangolo equivalente a un triangolo con data altezza
Da un poligono a un rettangolo equivalente
Triangoli isoperimetrici
Il perimetro dei triangoli equivalenti
Proprietà duali
Perimetro e area
Massimo e minimo
Circonferenze inscritte e circoscritte nei triangoli
Triangoli simili
Primo criterio di similitudine
Secondo criterio di similitudine
Terzo criterio di similitudine
Proprietà dei triangoli simili
Triangoli omotetici
Triangoli simili in un triangolo rettangolo
Primo teorema di Euclide
Secondo teorema di Euclide
Teorema di Pitagora
Estensione del teorema di Pitagora
Triangoli particolari
Risoluzione di un triangolo rettangolo
Triangolo aureo
Triangolo di Sierpinski
Triangoli Eroniani
Teorema di Ceva
Il cerchio dei nove punti
Teorema di Napoleone Bonaparte
Teorema di Morley
Excentro
Secondo criterio di uguaglianza
Con due cartoncini, un elastico e tre fermacampioni costruiamo il seguente modello di triangolo.
Tirando il cartoncino più piccolo, verso destra o verso sinistra, il vertice C scorre lungo la scalanatura del cartoncino più grande. Questo modello rappresenta quindi una famiglia di triangoli aventi fissi un lato (AB) e un angolo adiacente a questo lato (l'angolo in A). Con un lato e un angolo ad esso adiacente non possiamo, dunque, costruire un solo triangolo.
Dal primo criterio di uguaglianza sappiamo che il triangolo ABC è unico se fissiamo, oltre al lato AB e l'angolo in A, anche il lato AC. Cosa succede se invece del lato AC fissiamo un altro angolo? Osservando il nostro modello si intuisce che se noi fissiamo l'angolo in B il vertice C non può più scorrere lungo la scalanatura. Infatti, se fissiamo il lato AB, l'angolo in A e l'angolo in B le due semirette AC e BC devono necessariamente incontrarsi in un punto ben determinato, dando luogo ad un unico triangolo.
Abbiamo cosí scoperto il secondo criterio di uguaglianza:
Due triangoli sono congruenti se hanno un lato e i due angoli ad esso adiacenti congruenti.
Se, oltre al lato AB e l'angolo in A fissiamo l'angolo in C otteniamo ancora un unico triangolo? In altre parole, se conosciamo un lato, un angolo ad esso adiacente e un angolo ad esso opposto il triangolo è determinato? No, due triangoli possono avere congruenti un lato e due angoli non entrambi adiacenti al lato e non essere congruenti. Ad esempio, i due triangoli ABC e DEF hanno congruenti un lato (AB e EF) e due angoli (l'angolo in A è congruente all'angolo in D e l'angolo in C è congruente all'angolo in F) hanno la stessa forma eppure non sono congruenti.
I due triangoli sono diversi perchè è diversa la posizione del lato congruente rispetto ai due angoli fissati.
Questo spiega perchè è indispensabile che i due angoli siano entrambi adiacenti al lato fissato. Quindi, affinchè due triangoli siano congruenti non è sufficiente che abbiano rispettivamente congruenti due angoli e un lato; è necessario che i lati abbiano la stessa posizione rispetto agli angoli.
