Cosa devi sapere sui triangoli

Area di un triangolo

Per misurare la superficie di una figura piana bisogna confrontarla con un'altra superficie, scelta come unità di misura, e stabilire quante volte quest'ultima è contenuta nella figura. Il numero ottenuto da questo confronto rappresenta l'area della figura. In altre parole, la misura dell'area di una figura è un rapporto fra due superficie; quella della figura e quella dell'unità di misura. Ad esempio, dal confronto tra la superficie del triangolo ABC e la superficie del quadrato scelto come unità di misura si può stabilire che l'area del triangolo è 8 volte più grande.

L'unità di misura per le aree delle superficie è il metro quadrato, cioè un quadrato con il lato lungo un metro. Spesso per non avere numeri molto piccoli o molto grandi si utilizzano opportuni multipli (kilometro quadrato, ettometro quadrato, decametro quadrato) o sottomultipli (decimetro quadrato, centimetro quadrato, millimetro quadrato) del metro quadrato. Ma, misurare la superficie di un triangolo, confrontandola direttamente con un quadrato assunto come unità di misura, non è un'operazione semplice. Non è possibile ricoprire esattamente un triangolo con quadrati di lato unitario, perchè nel triangolo i lati consecutivi non sono tutti perpendicolari. Ad esempio, quanti quadratini di 1 centimetro quadrato occorrono per ricoprire esattamente il seguente triangolo?

Perciò la misurazione dell'area del triangolo deve essere effettuata in maniera indiretta. Questo può essere fatto in vari modi, ad esempio:

• Invece di misurare l'area del triangolo si misura l'area di un rettangolo equivalente.

• Si determina una regola che permette di calcolare l'area del triangolo misurando due suoi elementi.

Come si ottiene un rettangolo equivalente al triangolo? Con il metodo dell'equiscomponibilità. Disegniamo il triangolo ABC, poi congiungiamo con un segmento il punto medio della base AC con il punto medio del lato BC e, infine, tracciamo l'altezza relativa al lato AC.

Il triangolo viene cosí suddiviso in tre parti: un quadrilatero (HBNM) e due triangoli (ABH, MNC). Se spostiamo il triangolo MNC in modo da far coincidere BN con NC otteniamo un parallelogramma.

Il triangolo ABC è dunque equivalente, per somma di parti congruenti, a un parallelogramma che ha per base metà base del triangolo e per altezza la medesima altezza del triangolo.

Se spostiamo il triangolo ABH in modo da far coincidere AB con MM' otteniamo un rettangolo.

Il parallelogramma è dunque equivalente, per somma di parti congruenti, a un rettangolo di ugual base e di ugual altezza. Ovviamente anche il triangolo ABC è equivalente, per somma di parti congruenti, al rettangolo.

L'area del triangolo ABC è quindi uguale all'area del rettangolo che possiamo facilmente misurare con il metodo del confronto diretto con un quadrato preso come unità di misura. Possiamo cosí vedere che nel rettangolo, e quindi anche nel triangolo ABC, sono contenuti 20 quadrati di area uguale a un centimetro quadrato.

Vediamo ora l'altro metodo indiretto.

Nel rettangolo, della figura precedente, i quadrati di area 1 centimetro quadrato sono disposti in 5 colonne di 4 quadrati ciascuna. In totale il numero dei quadrati è 5 x 4 = 20. L'area del rettangolo è dunque A = 20 cm². Ma, i due numeri 5 e 4 rappresentano le misure in centimetri delle dimensioni del rettangolo (base e altezza). Possiamo allora stabilire una regola per il calcolo dell'area del rettangolo:

L'area del rettangolo è uguale al prodotto della misura della base per quella dell'altezza.

Possiamo esprimere questa regola con la formula:

A = b x h

dove b è la misura della base e h è la misura dell'altezza. Con il metodo della equiscomposizione abbiamo visto che un triangolo di base b e altezza h è equivalente a un rettangolo di base b/2 e altezza h. L'area di questo rettangolo e quindi anche l'area del triangolo è allora;

A = b/2 x h

Abbiamo cioè scoperto una regola che ci permette di calcolare, in modo indiretto, l'area del triangolo misurando una base e l'altezza a essa relativa:

L'area di un triangolo è data dalla metà del prodotto delle misure di una base e dell'altezza a essa relativa

A = b x h : 2