Indice
Introduzione
La condizione di esistenza del triangolo
La struttura triangolare è indeformabile
Tracciamo un triangolo
Classificazione dei triangoli rispetto ai lati
Relazioni tra lati e angoli di un triangolo
Somma degli angoli interni di un triangolo
Classificazione dei triangoli rispetto agli angoli
Classificazione generale dei triangoli
Angoli esterni di un triangolo
Le altezze di un triangolo
Le mediane di un triangolo
Le bisettrici di un triangolo
Assi di un triangolo
Punti notevoli di un triangolo
I triangoli e la simmetria assiale
La simmetria rotazionale del triangolo equilatero
Il triangolo rettangolo e le sue proprietà
Uguaglianza di triangoli
Primo criterio di uguaglianza
Secondo criterio di uguaglianza
Terzo criterio di uguaglianza
Criteri di uguaglianza dei triangoli rettangoli
Triangoli equivalenti
Area di un triangolo
Teorema di Pick
Triangoli equivalenti per scorrimento
Trasformazione di un poligono in un triangolo equivalente
Equivalenza di un trapezio e di un triangolo
Somma di triangoli di uguale altezza
Equivalenza di un poligono regolare e di un triangolo
Equivalenza di un poligono circoscritto e di un triangolo
Equivalenza tra un cerchio e un triangolo
Triangolo equivalente a un triangolo con data altezza
Da un poligono a un rettangolo equivalente
Triangoli isoperimetrici
Il perimetro dei triangoli equivalenti
Proprietà duali
Perimetro e area
Massimo e minimo
Circonferenze inscritte e circoscritte nei triangoli
Triangoli simili
Primo criterio di similitudine
Secondo criterio di similitudine
Terzo criterio di similitudine
Proprietà dei triangoli simili
Triangoli omotetici
Triangoli simili in un triangolo rettangolo
Primo teorema di Euclide
Secondo teorema di Euclide
Teorema di Pitagora
Estensione del teorema di Pitagora
Triangoli particolari
Risoluzione di un triangolo rettangolo
Triangolo aureo
Triangolo di Sierpinski
Triangoli Eroniani
Teorema di Ceva
Il cerchio dei nove punti
Teorema di Napoleone Bonaparte
Teorema di Morley
Excentro
Equivalenza di un poligono circoscritto e di un triangolo
La trasformazione, di un poligono regolare in un triangolo equivalente, vista nel paragrafo precedente può essere applicata anche a un qualsiasi poligono circoscritto a una circonferenza. Ad esempio, consideriamo un qualsiasi pentagono circoscritto a una circonferenza e congiungiamo i suoi vertici con il centro della circonferenza.
Il pentagono risulta cosí scomposto in cinque triangoli diversi. Però questi triangoli hanno in comune un elemento; quale? Se, per ogni triangolo, consideriamo come base un lato del pentagono allora le altezze relative a queste basi sono uguali. Infatti, nei poligoni circoscritti il centro della circonferenza è equidistante da tutti i lati del poligono. Disponiamo i cinque triangoli in modo che le basi, relative alle altezze uguali, siano accostate e allineate come in figura.
Facciamo scorrere, lungo una retta parallela alle basi, i vertici dei quattro triangoli laterali che sono opposti alle basi.
In tal modo si forma un triangolo equivalente alla somma dei cinque triangoli. Questo triangolo ha per base il perimetro del pentagono e per altezza il raggio della circonferenza. Pertanto possiamo affermare che:
Un poligono circoscritto a una circonferenza è equivalente a un triangolo avente per base il perimetro del poligono e per altezza il raggio della circonferenza.
Ecco perchè l'area del poligono circoscritto a una circonferenza si ottiene moltiplicando la misura del perimetro per quella del raggio e dividendo per due il prodotto ottenuto.
