Indice
Introduzione
La condizione di esistenza del triangolo
La struttura triangolare è indeformabile
Tracciamo un triangolo
Classificazione dei triangoli rispetto ai lati
Relazioni tra lati e angoli di un triangolo
Somma degli angoli interni di un triangolo
Classificazione dei triangoli rispetto agli angoli
Classificazione generale dei triangoli
Angoli esterni di un triangolo
Le altezze di un triangolo
Le mediane di un triangolo
Le bisettrici di un triangolo
Assi di un triangolo
Punti notevoli di un triangolo
I triangoli e la simmetria assiale
La simmetria rotazionale del triangolo equilatero
Il triangolo rettangolo e le sue proprietà
Uguaglianza di triangoli
Primo criterio di uguaglianza
Secondo criterio di uguaglianza
Terzo criterio di uguaglianza
Criteri di uguaglianza dei triangoli rettangoli
Triangoli equivalenti
Area di un triangolo
Teorema di Pick
Triangoli equivalenti per scorrimento
Trasformazione di un poligono in un triangolo equivalente
Equivalenza di un trapezio e di un triangolo
Somma di triangoli di uguale altezza
Equivalenza di un poligono regolare e di un triangolo
Equivalenza di un poligono circoscritto e di un triangolo
Equivalenza tra un cerchio e un triangolo
Triangolo equivalente a un triangolo con data altezza
Da un poligono a un rettangolo equivalente
Triangoli isoperimetrici
Il perimetro dei triangoli equivalenti
Proprietà duali
Perimetro e area
Massimo e minimo
Circonferenze inscritte e circoscritte nei triangoli
Triangoli simili
Primo criterio di similitudine
Secondo criterio di similitudine
Terzo criterio di similitudine
Proprietà dei triangoli simili
Triangoli omotetici
Triangoli simili in un triangolo rettangolo
Primo teorema di Euclide
Secondo teorema di Euclide
Teorema di Pitagora
Estensione del teorema di Pitagora
Triangoli particolari
Risoluzione di un triangolo rettangolo
Triangolo aureo
Triangolo di Sierpinski
Triangoli Eroniani
Teorema di Ceva
Il cerchio dei nove punti
Teorema di Napoleone Bonaparte
Teorema di Morley
Excentro
Massimo e minimo
Fra tutti i triangoli di dato perimetro, quale ha la massima area? Consideriamo l'insieme dei triangoli che hanno perimetro uguale a 18 cm e le misure dei lati espressi da numeri interi.
Questi triangoli sono in tutto sette.
Calcoliamo l'area di ogni triangolo con la formula di Erone:
a b c Area 2 8 8 7,93 3 8 7 10,39 4 6 8 11,61 8 5 5 12,00 4 7 7 13,41 5 6 7 14,69 6 6 6 15,58
Come possiamo vedere il triangolo equilatero è quello di area massima. Dalla tabella possiamo anche notare che tanto più il triangolo si avvicina alla forma equilatera tanto maggiore è la sua area.
Abbiamo cosí scoperto che:
Fra tutti i triangoli con un dato perimetro, il triangolo equilatero ha l'area massima.
Naturalmente, per la legge della dualità sostituendo PERIMETRO con AREA e MASSIMA con MINIMO si ha anche:
Fra tutti i triangoli con una data area, il triangolo equilatero ha il perimetro minimo.
Dalla tabella possiamo osservare un'altra proprietà dei triangoli isoperimetrici, che abbiamo già vista precedentemente, ma è utile ricordare. I due triangoli aventi i lati rispettivamente 4, 6, 8 e 4, 7, 7 hanno la stessa base e lo stesso perimetro, ma non hanno la stessa area. Fra i due triangoli è quello isoscele ad avere la massima area. Possiamo dire:
Se due triangoli hanno la stessa base e lo stesso perimetro, quello per cui è minore la differenza fra le lunghezze dei lati obliqui ha l'area maggiore.
