Indice
IntroduzioneLa condizione di esistenza del triangolo
La struttura triangolare è indeformabile
Tracciamo un triangolo
Classificazione dei triangoli rispetto ai lati
Relazioni tra lati e angoli di un triangolo
Somma degli angoli interni di un triangolo
Classificazione dei triangoli rispetto agli angoli
Classificazione generale dei triangoli
Angoli esterni di un triangolo
Le altezze di un triangolo
Le mediane di un triangolo
Le bisettrici di un triangolo
Assi di un triangolo
Punti notevoli di un triangolo
I triangoli e la simmetria assiale
La simmetria rotazionale del triangolo equilatero
Il triangolo rettangolo e le sue proprietà
Uguaglianza di triangoli
Primo criterio di uguaglianza
Secondo criterio di uguaglianza
Terzo criterio di uguaglianza
Criteri di uguaglianza dei triangoli rettangoli
Triangoli equivalenti
Area di un triangolo
Teorema di Pick
Triangoli equivalenti per scorrimento
Trasformazione di un poligono in un triangolo equivalente
Equivalenza di un trapezio e di un triangolo
Somma di triangoli di uguale altezza
Equivalenza di un poligono regolare e di un triangolo
Equivalenza di un poligono circoscritto e di un triangolo
Equivalenza tra un cerchio e un triangolo
Triangolo equivalente a un triangolo con data altezza
Da un poligono a un rettangolo equivalente
Triangoli isoperimetrici
Il perimetro dei triangoli equivalenti
Proprietà duali
Perimetro e area
Massimo e minimo
Circonferenze inscritte e circoscritte nei triangoli
Triangoli simili
Primo criterio di similitudine
Secondo criterio di similitudine
Terzo criterio di similitudine
Proprietà dei triangoli simili
Triangoli omotetici
Triangoli simili in un triangolo rettangolo
Primo teorema di Euclide
Secondo teorema di Euclide
Teorema di Pitagora
Estensione del teorema di Pitagora
Triangoli particolari
Risoluzione di un triangolo rettangolo
Triangolo aureo
Triangolo di Sierpinski
Triangoli Eroniani
Teorema di Ceva
Il cerchio dei nove punti
Teorema di Napoleone Bonaparte
Teorema di Morley
Excentro
Primo teorema di Euclide
Consideriamo il triangolo rettangolo ABC in figura.
Poichè ABH e ABC sono simili possiamo scrivere:
Cioè il cateto minore di ABH sta al cateto minore di ABC come l'ipotenusa di ABH sta all'ipotenusa di ABC. Analogamente, poichè BCH e ABC sono simili, possiamo scrivere:
Cioè, il cateto maggiore di BCH sta al cateto maggiore di ABC come l'ipotenusa di BCH sta all'ipotenusa di ABC. La prima proporzione equivale all'uguaglianza:
e la seconda all'uguaglianza:
Queste due uguaglianze esprimono il primo teorema di Euclide e hanno una semplice interpretazione geometrica:
L'altezza BH relativa all'ipotenusa divide il triangolo in due triangoli rettangoli: ABH e BCH. Questi due triangoli sono simili al triangolo iniziale per il primo criterio di similitudine e sono quindi simili tra loro. I triangoli ABH e ABC sono simili perchè hanno angoli corrispondenti congruenti. Infatti: un angolo è in entrambi retto; un angolo è in comune (quello in A); il terzo è in entrambi complementare dell'angolo in A. In modo analogo si vede che sono simili i triangoli BCH e ABC.
I segmenti AH e HC sono detti rispettivamente le proiezioni del cateto minore e del cateto maggiore sull'ipotenusa.
Primo teorema di Euclide:
L'area del quadrato costruito sul cateto minore AB è uguale all'area del rettangolo che ha per dimensioni l'ipotenusa AC e la proiezione AH del cateto minore sull'ipotenusa.
L'area del quadrato costruito sul cateto maggiore BC è uguale all'area del rettangolo che ha per dimensioni l'ipotenusa AC e la proiezione HC del cateto maggiore sull'ipotenusa.
