Cosa devi sapere sui triangoli

Teorema di Napoleone Bonaparte

Un curioso teorema che ha come protagonista un triangolo equilatero che appare inaspettatamente è stato attribuito a Napoleone Buonaparte anche se non è stata mai provata la sua paternità.

Teorema di Napoleone.

Se consideriamo un triangolo qualsiasi ABC e costruiamo, esternamente ad esso, sui suoi tre lati i rispettivi tre triangoli equilateri, allora i centri di questi tre triangoli sono i vertici di un triangolo equilatero.

Curiosamente questo teorema è valido anche se i triangoli equilateri sono costruiti internamente ai lati del triangolo ABC.

Se sui lati di un triangolo ABC si costruiscono, internamente, tre triangoli equilateri allora i loro centri sono vertici di un triangolo equilatero.

Il teorema di Napoleone è un caso particolare di un teorema più generale per il quale:

Se sui lati di un triangolo ABC si costruiscono, esternamente, tre triangoli simili tra loro e disposti con lo stesso orientamento, allora i loro circocentri formano un triangolo a loro simile.

Esiste un collegamento tra il teorema di Napoleone e il problema di Fermat (1601-1655):

Dato un triangolo qualunque ABC trovare il punto P interno al triangolo tale che la somma delle distanze di questo punto dai vertici sia minima.

Questo punto di Fermat è il punto comune alle tre circonferenze circoscritte ai triangoli equilateri costruiti sui lati del triangolo ABC.

Se nel triangolo ABC tutti gli angoli sono minori di 120° allora gli angolo APB, APC, BPC sono di 120°. Se però un angolo del triangolo ABC, per esempio l'angolo in A, è maggiore di 120° allora il punto P coincide con il vertice A.

Il punto di Fermat viene considerato come un punto notevole dei triangoli e ha molte applicazioni pratiche legati alla vita reale come ad esempio individuare un tracciato stradale o ferroviario o idrico più breve per collegare tre città. Il problema della ricerca di un tracciato che minimizza le distanze tra tre punti fu riscoperto da J. Steiner (1796-1863) e generalizzato nella ricerca di un tracciato che minimizza le distanze fra punti del piano noto come il problema della rete di lunghezza minima di Steiner.