Indice
Introduzione
La condizione di esistenza del triangolo
La struttura triangolare è indeformabile
Tracciamo un triangolo
Classificazione dei triangoli rispetto ai lati
Relazioni tra lati e angoli di un triangolo
Somma degli angoli interni di un triangolo
Classificazione dei triangoli rispetto agli angoli
Classificazione generale dei triangoli
Angoli esterni di un triangolo
Le altezze di un triangolo
Le mediane di un triangolo
Le bisettrici di un triangolo
Assi di un triangolo
Punti notevoli di un triangolo
I triangoli e la simmetria assiale
La simmetria rotazionale del triangolo equilatero
Il triangolo rettangolo e le sue proprietà
Uguaglianza di triangoli
Primo criterio di uguaglianza
Secondo criterio di uguaglianza
Terzo criterio di uguaglianza
Criteri di uguaglianza dei triangoli rettangoli
Triangoli equivalenti
Area di un triangolo
Teorema di Pick
Triangoli equivalenti per scorrimento
Trasformazione di un poligono in un triangolo equivalente
Equivalenza di un trapezio e di un triangolo
Somma di triangoli di uguale altezza
Equivalenza di un poligono regolare e di un triangolo
Equivalenza di un poligono circoscritto e di un triangolo
Equivalenza tra un cerchio e un triangolo
Triangolo equivalente a un triangolo con data altezza
Da un poligono a un rettangolo equivalente
Triangoli isoperimetrici
Il perimetro dei triangoli equivalenti
Proprietà duali
Perimetro e area
Massimo e minimo
Circonferenze inscritte e circoscritte nei triangoli
Triangoli simili
Primo criterio di similitudine
Secondo criterio di similitudine
Terzo criterio di similitudine
Proprietà dei triangoli simili
Triangoli omotetici
Triangoli simili in un triangolo rettangolo
Primo teorema di Euclide
Secondo teorema di Euclide
Teorema di Pitagora
Estensione del teorema di Pitagora
Triangoli particolari
Risoluzione di un triangolo rettangolo
Triangolo aureo
Triangolo di Sierpinski
Triangoli Eroniani
Teorema di Ceva
Il cerchio dei nove punti
Teorema di Napoleone Bonaparte
Teorema di Morley
Excentro
Teorema di Napoleone Bonaparte
Un curioso teorema che ha come protagonista un triangolo equilatero che appare inaspettatamente è stato attribuito a Napoleone Buonaparte anche se non è stata mai provata la sua paternità.
Teorema di Napoleone.
Se consideriamo un triangolo qualsiasi ABC e costruiamo, esternamente ad esso, sui suoi tre lati i rispettivi tre triangoli equilateri, allora i centri di questi tre triangoli sono i vertici di un triangolo equilatero.
Curiosamente questo teorema è valido anche se i triangoli equilateri sono costruiti internamente ai lati del triangolo ABC.
Se sui lati di un triangolo ABC si costruiscono, internamente, tre triangoli equilateri allora i loro centri sono vertici di un triangolo equilatero.
Il teorema di Napoleone è un caso particolare di un teorema più generale per il quale:
Se sui lati di un triangolo ABC si costruiscono, esternamente, tre triangoli simili tra loro e disposti con lo stesso orientamento, allora i loro circocentri formano un triangolo a loro simile.
Esiste un collegamento tra il teorema di Napoleone e il problema di Fermat (1601-1655):
Dato un triangolo qualunque ABC trovare il punto P interno al triangolo tale che la somma delle distanze di questo punto dai vertici sia minima.
Questo punto di Fermat è il punto comune alle tre circonferenze circoscritte ai triangoli equilateri costruiti sui lati del triangolo ABC.
Se nel triangolo ABC tutti gli angoli sono minori di 120° allora gli angolo APB, APC, BPC sono di 120°. Se però un angolo del triangolo ABC, per esempio l'angolo in A, è maggiore di 120° allora il punto P coincide con il vertice A.
Il punto di Fermat viene considerato come un punto notevole dei triangoli e ha molte applicazioni pratiche legati alla vita reale come ad esempio individuare un tracciato stradale o ferroviario o idrico più breve per collegare tre città. Il problema della ricerca di un tracciato che minimizza le distanze tra tre punti fu riscoperto da J. Steiner (1796-1863) e generalizzato nella ricerca di un tracciato che minimizza le distanze fra punti del piano noto come il problema della rete di lunghezza minima di Steiner.
