Cosa devi sapere sui triangoli

Relazioni tra lati e angoli di un triangolo

In un triangolo ad ogni lato è opposto un angolo. Ad esempio. al lato AB è opposto l'angolo in C, al lato BC è opposto l'angolo in A, al lato CA è opposto l'angolo in B.

Se consideriamo il modello di triangolo costruito con due lati rigidi e un elastico possiamo verificare sperimentalmente che al variare dell'angolo compreso tra i due lati rigidi varia anche la lunghezza del lato opposto.

Questo vuol dire che devono esistere delle relazioni tra i lati e gli angoli opposti di un triangolo. Vediamo allora come è possibile scoprire alcune di queste relazioni.

Consideriamo un triangolo isoscele.

Per i triangoli isosceli c'è la consuetudine di chiamare base il lato disuguale, lato obliquo ciascuno dei lati congruenti, angolo al vertice l'angolo compreso tra i due lati congruenti e angoli alla base gli altri due angoli.

Tracciamo, con la riga e il compasso il triangolo isoscele ABC. Ritagliamo il triangolo e pieghiamolo accuratamente in modo da portare il lato AB a coincidere esattamente con il lato BC, come si vede dal modello. Cosa verifichiamo?

I due angoli alla base si sovrappongono perfettamente. Abbiamo cioè scoperto che gli angoli alla base del nostro triangolo isoscele sono congruenti. Questa proprietà vale per tutti i triangoli isosceli e in generale vale:

In ogni triangolo gli angoli opposti a lati congruenti sono congruenti.

Ora, tracciamo con la riga e un goniometro il triangolo ABC con i due angoli in A e in C congruenti. Ritagliamo il triangolo e pieghiamolo accuratamente in modo da portare l'angolo in A a coincidere perfettamente con l'angolo in C. Cosa verifichiamo?

Il triangolo ha anche due lati congruenti, cioè scopriamo che è vera anche la proprietà inversa:

In ogni triangoli i lati opposti ad angoli congruenti sono congruenti.

Dalla prima proprietà segue che gli angoli di un triangolo equilatero sono tutti congruenti, mentre gli angoli di un triangolo scaleno sono uno diverso dall'altro.

Utilizziamo ancora il modello di triangolo isoscele costruito con due lati rigidi e un elastico e vediamo cos'altro possiamo scoprire sperimentalmente:

• quando l'angolo al vertice è minore degli angoli alla base allora anche la base è minore dei lati obliqui;

• quando l'angolo al vertice è congruente agli angoli alla base allora anche la base è congruente ai lati obliqui;

• quando l'angolo al vertice è maggiore degli angoli alla base allora anche la base è maggiore dei lati obliqui.

Analogamente, con un modello di triangolo scaleno, realizzato con due lati rigidi e un elastico scopriamo che al lato più lungo si oppone l'angolo di ampiezza maggiore; al lato più corto si oppone l'angolo di ampiezza minore.

Abbiamo cosí scoperto la seguente proprietà generale dei triangoli:

In ogni triangolo, al lato più lungo si oppone l'angolo maggiore (e viceversa), al lato più corto si oppone l'angolo minore (e viceversa).