Indice
Introduzione
La condizione di esistenza del triangolo
La struttura triangolare è indeformabile
Tracciamo un triangolo
Classificazione dei triangoli rispetto ai lati
Relazioni tra lati e angoli di un triangolo
Somma degli angoli interni di un triangolo
Classificazione dei triangoli rispetto agli angoli
Classificazione generale dei triangoli
Angoli esterni di un triangolo
Le altezze di un triangolo
Le mediane di un triangolo
Le bisettrici di un triangolo
Assi di un triangolo
Punti notevoli di un triangolo
I triangoli e la simmetria assiale
La simmetria rotazionale del triangolo equilatero
Il triangolo rettangolo e le sue proprietà
Uguaglianza di triangoli
Primo criterio di uguaglianza
Secondo criterio di uguaglianza
Terzo criterio di uguaglianza
Criteri di uguaglianza dei triangoli rettangoli
Triangoli equivalenti
Area di un triangolo
Teorema di Pick
Triangoli equivalenti per scorrimento
Trasformazione di un poligono in un triangolo equivalente
Equivalenza di un trapezio e di un triangolo
Somma di triangoli di uguale altezza
Equivalenza di un poligono regolare e di un triangolo
Equivalenza di un poligono circoscritto e di un triangolo
Equivalenza tra un cerchio e un triangolo
Triangolo equivalente a un triangolo con data altezza
Da un poligono a un rettangolo equivalente
Triangoli isoperimetrici
Il perimetro dei triangoli equivalenti
Proprietà duali
Perimetro e area
Massimo e minimo
Circonferenze inscritte e circoscritte nei triangoli
Triangoli simili
Primo criterio di similitudine
Secondo criterio di similitudine
Terzo criterio di similitudine
Proprietà dei triangoli simili
Triangoli omotetici
Triangoli simili in un triangolo rettangolo
Primo teorema di Euclide
Secondo teorema di Euclide
Teorema di Pitagora
Estensione del teorema di Pitagora
Triangoli particolari
Risoluzione di un triangolo rettangolo
Triangolo aureo
Triangolo di Sierpinski
Triangoli Eroniani
Teorema di Ceva
Il cerchio dei nove punti
Teorema di Napoleone Bonaparte
Teorema di Morley
Excentro
Relazioni tra lati e angoli di un triangolo
In un triangolo ad ogni lato è opposto un angolo. Ad esempio al lato AB è opposto l'angolo in C, al lato BC è opposto l'angolo in A, al lato CA è opposto l'angolo in B.
Se consideriamo il modello di triangolo costruito con due lati rigidi e un elastico possiamo verificare sperimentalmente che al variare dell'angolo compreso tra i due lati rigidi varia anche la lunghezza del lato opposto.
Questo vuol dire che devono esistere delle relazioni tra i lati e gli angoli opposti di un triangolo. Vediamo allora come è possibile scoprire alcune di queste relazioni.
Consideriamo un triangolo isoscele.
Per i triangoli isosceli c'è la consuetudine di chiamare base il lato disuguale, lato obliquo ciascuno dei lati congruenti, angolo al vertice l'angolo compreso tra i due lati congruenti e angoli alla base gli altri due angoli.
Tracciamo, con la riga e il compasso il triangolo isoscele ABC. Ritagliamo il triangolo e pieghiamolo accuratamente in modo da portare il lato AB a coincidere esattamente con il lato BC, come si vede dal modello. Cosa verifichiamo?
I due angoli alla base si sovrappongono perfettamente. Abbiamo cioè scoperto che gli angoli alla base del nostro triangolo isoscele sono congruenti. Questa proprietà vale per tutti i triangoli isosceli e in generale vale:
In ogni triangolo gli angoli opposti a lati congruenti sono congruenti.
Ora, tracciamo con la riga e un goniometro il triangolo ABC con i due angoli in A e in C congruenti. Ritagliamo il triangolo e pieghiamolo accuratamente in modo da portare l'angolo in A a coincidere perfettamente con l'angolo in C. Cosa verifichiamo?
Il triangolo ha anche due lati congruenti, cioè scopriamo che è vera anche la proprietà inversa:
In ogni triangoli i lati opposti ad angoli congruenti sono congruenti.
Dalla prima proprietà segue che gli angoli di un triangolo equilatero sono tutti congruenti, mentre gli angoli di un triangolo scaleno sono uno diverso dall'altro.
Utilizziamo ancora il modello di triangolo isoscele costruito con due lati rigidi e un elastico e vediamo cos'altro possiamo scoprire sperimentalmente:
quando l'angolo al vertice è minore degli angoli alla base allora anche la base è minore dei lati obliqui
quando l'angolo al vertice è congruente agli angoli alla base allora anche la base è congruente ai lati obliqui
quando l'angolo al vertice è maggiore degli angoli alla base allora anche la base è maggiore dei lati obliqui
Analogamente, con un modello di triangolo scaleno, realizzato con due lati rigidi e un elastico scopriamo che al lato più lungo si oppone l'angolo di ampiezza maggiore; al lato più corto si oppone l'angolo di ampiezza minore.
Abbiamo cosí scoperto la seguente proprietà generale dei triangoli:
In ogni triangolo, al lato più lungo si oppone l'angolo maggiore (e viceversa), al lato più corto si oppone l'angolo minore (e viceversa).
