Indice
Introduzione
La condizione di esistenza del triangolo
La struttura triangolare è indeformabile
Tracciamo un triangolo
Classificazione dei triangoli rispetto ai lati
Relazioni tra lati e angoli di un triangolo
Somma degli angoli interni di un triangolo
Classificazione dei triangoli rispetto agli angoli
Classificazione generale dei triangoli
Angoli esterni di un triangolo
Le altezze di un triangolo
Le mediane di un triangolo
Le bisettrici di un triangolo
Assi di un triangolo
Punti notevoli di un triangolo
I triangoli e la simmetria assiale
La simmetria rotazionale del triangolo equilatero
Il triangolo rettangolo e le sue proprietà
Uguaglianza di triangoli
Primo criterio di uguaglianza
Secondo criterio di uguaglianza
Terzo criterio di uguaglianza
Criteri di uguaglianza dei triangoli rettangoli
Triangoli equivalenti
Area di un triangolo
Teorema di Pick
Triangoli equivalenti per scorrimento
Trasformazione di un poligono in un triangolo equivalente
Equivalenza di un trapezio e di un triangolo
Somma di triangoli di uguale altezza
Equivalenza di un poligono regolare e di un triangolo
Equivalenza di un poligono circoscritto e di un triangolo
Equivalenza tra un cerchio e un triangolo
Triangolo equivalente a un triangolo con data altezza
Da un poligono a un rettangolo equivalente
Triangoli isoperimetrici
Il perimetro dei triangoli equivalenti
Proprietà duali
Perimetro e area
Massimo e minimo
Circonferenze inscritte e circoscritte nei triangoli
Triangoli simili
Primo criterio di similitudine
Secondo criterio di similitudine
Terzo criterio di similitudine
Proprietà dei triangoli simili
Triangoli omotetici
Triangoli simili in un triangolo rettangolo
Primo teorema di Euclide
Secondo teorema di Euclide
Teorema di Pitagora
Estensione del teorema di Pitagora
Triangoli particolari
Risoluzione di un triangolo rettangolo
Triangolo aureo
Triangolo di Sierpinski
Triangoli Eroniani
Teorema di Ceva
Il cerchio dei nove punti
Teorema di Napoleone Bonaparte
Teorema di Morley
Excentro
Triangolo di Sierpinski
Se da un triangolo equilatero viene tolto ricorsivamente il triangolo equilatero centrale si ottiene una figura chiamata triangolo di Sierpinski in onore del matematico polacco Waclaw Sierpinski che descrisse questa figura nel 1915.
Il triangolo di Sierpinski effettivo è ciò che si otterrebbe dopo un numero infinito di rimozioni. Ecco ad esempio, partendo da un triangolo equilatero, le prime quattro rimozioni ricorsive del triangolo equilatero centrale.
Il triangolo di Sierpinski è un frattale perchè se ingrandiamo una qualunque sua parte si ottiene una figura simile all'originale. Quanto vale il perimetro e l'area di un triangolo di Sierpinski? Come possiamo vedere dalle prime rimozioni ricorsive, ad ogni passo il numero dei triangoli triplica mentre la misura dei lati si dimezza. Supponiamo di partire da un triangolo equilatero di lato 1.
Perimetro:
livello 0
livello 1
livello 2
livello 3
livello 4
livello n
Osserviamo che il perimetro cresce di un fattore 3/2 ogni volta che si passa da un livello a quello successivo e essendo 3/2 maggiore di 1 al crescere di n cresce anche il perimetro. Da ciò si intuisce che il perimetro di un triangolo di Sierpinski è infinito.
Supponiamo di partire da un triangolo equilatero di area 1.
Area:
Osserviamo che l'area decresce di un fattore 3/4 ogni volta che si passa da un livello a quello successivo e essendo 3/4 minore di 1 al crescere di n decresce l'area. Da ciò si intuisce che l'area di un triangolo di Sierpinski è nulla.
Il triangolo di Sierpinski ha quindi una particolare caratteristica: un perimetro infinito e un'area nulla.
