Cosa devi sapere sui triangoli

Triangoli isoperimetrici

Un triangolo essendo una spezzata chiusa ha sia un'estensione che un contorno. La lunghezza del contorno, cioè la somma delle misure dei tre lati è il perimetro del triangolo. Due triangoli che hanno lo stesso perimetro si dicono isoperimetrici. Ad esempio, i due triangoli ABC e DEF avendo entrambi il perimetro 2p = 36 cm sono isoperimetrici.

Viene spontaneo chiedersi: se due triangoli sono isoperimetrici, sono anche equivalenti? Con una tavoletta, due chiodi e un cordino annodato agli estremi costruiamo il seguente modello.

Mettiamo il cordino in tensione, con una matita, in modo da formare un triangolo.

Facciamo scorrere la matita in modo da tenere sempre teso il cordino. Ad ogni piccolo spostamento della matita si forma un triangolo avente come base il tratto di cordino compreso fra i due chiodi e come perimetro la lunghezza del cordino che è ovviamente costante.

Possiamo osservare che la punta della matita traccia una curva a forma di ovale chiamata ellisse. Ogni punto dell'ellisse può essere assunto come il terzo vertice del triangolo (gli altri due vertici sono i due chiodi). Questo modello rappresenta, quindi, una famiglia di triangoli isoperimetrici di ugual base (il lato compreso fra i due chiodi). Si vede subito, che l'area di ciascun triangolo dipende esclusivamente dall'altezza relativa alla base fissa. Ora, quest'altezza non è costante ma dipende, come si vede dal successivo modello, dalla posizione del vertice B.

Pertanto l'area di questi triangoli isoperimetrici varia al variare della distanza del vertice B dalla base AC. Tale distanza è massima quando il vertice B giace sull'asse della base AC. Quando il vertice B assume questa posizione il triangolo diventa isoscele sulla base AC. Possiamo allora dire che:

Fra i triangoli isoperimetrici di data base, il triangolo isoscele è quello di area massima.