Indice
Introduzione
La condizione di esistenza del triangolo
La struttura triangolare è indeformabile
Tracciamo un triangolo
Classificazione dei triangoli rispetto ai lati
Relazioni tra lati e angoli di un triangolo
Somma degli angoli interni di un triangolo
Classificazione dei triangoli rispetto agli angoli
Classificazione generale dei triangoli
Angoli esterni di un triangolo
Le altezze di un triangolo
Le mediane di un triangolo
Le bisettrici di un triangolo
Assi di un triangolo
Punti notevoli di un triangolo
I triangoli e la simmetria assiale
La simmetria rotazionale del triangolo equilatero
Il triangolo rettangolo e le sue proprietà
Uguaglianza di triangoli
Primo criterio di uguaglianza
Secondo criterio di uguaglianza
Terzo criterio di uguaglianza
Criteri di uguaglianza dei triangoli rettangoli
Triangoli equivalenti
Area di un triangolo
Teorema di Pick
Triangoli equivalenti per scorrimento
Trasformazione di un poligono in un triangolo equivalente
Equivalenza di un trapezio e di un triangolo
Somma di triangoli di uguale altezza
Equivalenza di un poligono regolare e di un triangolo
Equivalenza di un poligono circoscritto e di un triangolo
Equivalenza tra un cerchio e un triangolo
Triangolo equivalente a un triangolo con data altezza
Da un poligono a un rettangolo equivalente
Triangoli isoperimetrici
Il perimetro dei triangoli equivalenti
Proprietà duali
Perimetro e area
Massimo e minimo
Circonferenze inscritte e circoscritte nei triangoli
Triangoli simili
Primo criterio di similitudine
Secondo criterio di similitudine
Terzo criterio di similitudine
Proprietà dei triangoli simili
Triangoli omotetici
Triangoli simili in un triangolo rettangolo
Primo teorema di Euclide
Secondo teorema di Euclide
Teorema di Pitagora
Estensione del teorema di Pitagora
Triangoli particolari
Risoluzione di un triangolo rettangolo
Triangolo aureo
Triangolo di Sierpinski
Triangoli Eroniani
Teorema di Ceva
Il cerchio dei nove punti
Teorema di Napoleone Bonaparte
Teorema di Morley
Excentro
Triangoli isoperimetrici
Un triangolo essendo una spezzata chiusa ha sia un'estensione che un contorno. La lunghezza del contorno, cioè la somma delle misure dei tre lati è il perimetro del triangolo. Due triangoli che hanno lo stesso perimetro si dicono isoperimetrici. Ad esempio, i due triangoli ABC e DEF avendo entrambi il perimetro 2p = 36 cm sono isoperimetrici.
Viene spontaneo chidersi: se due triangoli sono isoperimetrici, sono anche equivalenti? Con una tavoletta, due chiodi e un cordino annodato agli estremi costruiamo il seguente modello.
Mettiamo il cordino in tensione, con una matita, in modo da formare un triangolo.
Facciamo scorrere la matita in modo da tenere sempre teso il cordino. Ad ogni piccolo spostamento della matita si forma un triangolo avente come base il tratto di cordino compreso fra i due chiodi e come perimetro la lunghezza del cordino che è ovviamente costante.
Possiamo osservare che la punta della matita traccia una curva a forma di ovale chiamata ellisse. Ogni punto dell'ellisse può essere assunto come il terzo vertice del triangolo (gli altri due vertici sono i due chiodi). Questo modello rappresenta, quindi, una famiglia di triangoli isoperimetrici di ugual base (il lato compreso fra i due chiodi). Si vede subito, che l'area di ciascun triangolo dipende esclusivamente dall'altezza relativa alla base fissa. Ora, quest'altezza non è costante ma dipende, come si vede dal successivo modello, dalla posizione del vertice B.
Pertanto l'area di questi triangoli isoperimetrici varia al variare della distanza del vertice B dalla base AC. Tale distanza è massima quando il vertice B giace sull'asse della base AC. Quando il vertice B assume questa posizione il triangolo diventa isoscele sulla base AC. Possiamo allora dire che:
Fra i triangoli isoperimetrici di data base, il triangolo isoscele è quello di area massima.
