Indice
Introduzione
La condizione di esistenza del triangolo
La struttura triangolare è indeformabile
Tracciamo un triangolo
Classificazione dei triangoli rispetto ai lati
Relazioni tra lati e angoli di un triangolo
Somma degli angoli interni di un triangolo
Classificazione dei triangoli rispetto agli angoli
Classificazione generale dei triangoli
Angoli esterni di un triangolo
Le altezze di un triangolo
Le mediane di un triangolo
Le bisettrici di un triangolo
Assi di un triangolo
Punti notevoli di un triangolo
I triangoli e la simmetria assiale
La simmetria rotazionale del triangolo equilatero
Il triangolo rettangolo e le sue proprietà
Uguaglianza di triangoli
Primo criterio di uguaglianza
Secondo criterio di uguaglianza
Terzo criterio di uguaglianza
Criteri di uguaglianza dei triangoli rettangoli
Triangoli equivalenti
Area di un triangolo
Teorema di Pick
Triangoli equivalenti per scorrimento
Trasformazione di un poligono in un triangolo equivalente
Equivalenza di un trapezio e di un triangolo
Somma di triangoli di uguale altezza
Equivalenza di un poligono regolare e di un triangolo
Equivalenza di un poligono circoscritto e di un triangolo
Equivalenza tra un cerchio e un triangolo
Triangolo equivalente a un triangolo con data altezza
Da un poligono a un rettangolo equivalente
Triangoli isoperimetrici
Il perimetro dei triangoli equivalenti
Proprietà duali
Perimetro e area
Massimo e minimo
Circonferenze inscritte e circoscritte nei triangoli
Triangoli simili
Primo criterio di similitudine
Secondo criterio di similitudine
Terzo criterio di similitudine
Proprietà dei triangoli simili
Triangoli omotetici
Triangoli simili in un triangolo rettangolo
Primo teorema di Euclide
Secondo teorema di Euclide
Teorema di Pitagora
Estensione del teorema di Pitagora
Triangoli particolari
Risoluzione di un triangolo rettangolo
Triangolo aureo
Triangolo di Sierpinski
Triangoli Eroniani
Teorema di Ceva
Il cerchio dei nove punti
Teorema di Napoleone Bonaparte
Teorema di Morley
Excentro
Risoluzione di un triangolo rettangolo
Per determinare tutti i lati e gli angoli di un triangolo rettangolo occorre conoscere, oltre all'angolo retto, due lati o un lato e un angolo acuto. Tutti i triangoli rettangoli con un dato angolo acuto α sono simili tra loro e i rapporti tra cateti e tra cateti e ipotenusa sono costanti e dipendono dall'angolo α.
Questi rapporti hanno nomi particolari: seno di alfa, che si indica con il simbolo sin α, è il rapporto tra il cateto opposto all'angolo α e l'ipotenusa, coseno di alfa, che si indica con il simbolo cos α, è il rapporto tra il cateto adiacente all'angolo α e l'ipotenusa, tangente di alfa, che si indica con il simbolo tan α è il rapporto tra il cateto opposto all'angolo α e il cateto adiacente all'angolo α.
Noto il seno di α (o il coseno di α o la tangente di α), l'ampiezza dell'angolo si ricava applicando la funzione inversa del seno (o del coseno o della tangente), indicata, sulle calcolatrici con sin-1 (o cos-1 o tan-1).
Invertendo le formule dei rapporti possiamo determinare un cateto o l'ipotenusa del triangolo rettangolo:
In un triangolo rettangolo, la misura di un cateto è pari alla misura dell'ipotenusa per il seno dell'angolo opposto al cateto, o per il coseno dell'angolo adiacente.a = c ⋅ sin α
b = c ⋅ cos αIn un triangolo rettangolo, la misura di un cateto è pari alla misura dell'altro cateto per la tangente dell'angolo opposto al cateto.
a = b ⋅ tan α
b = a ⋅ tan (90° - α)Con queste formule possiamo determinare tutti gli elementi dei triangoli rettangoli:
sono noti a e c
sono noti a e α
sono noti a e b
