Cosa devi sapere sui triangoli

Equivalenza tra un cerchio e un triangolo

Consideriamo un poligono regolare inscritto in una circonferenza, per esempio un triangolo equilatero.

Supponiamo di aumentare successivamente i lati del poligono regolare, raddoppiandone il numero.

Si intuisce che, al crescere del numero dei lati, l'area del poligono regolare inscritto fornisce una approssimazione (per difetto) sempre migliore dell'area del cerchio. Possiamo quindi avere un poligono regolare inscritto, con un numero di lati talmente grande che la differenza tra la superficie del cerchio e quella del poligono regolare risulti minore di una superficie scelta a piacere, per quanto piccola essa sia. Contemporaneamente, i perimetri e gli apotemi dei poligoni regolari inscritti differiscono, rispettivamente, sempre meno dalla circonferenza e dal raggio. Sappiamo che ogni poligono regolare è equivalente a un triangolo, con la base uguale al perimetro e altezza uguale all'apotema del poligono.

Ora se, al crescere dei numeri dei lati, l'estensione dei poligoni regolari inscritti si approssima sempre di più al cerchio, ne segue che i triangoli ad essi equivalenti si approssimano sempre di più al triangolo che ha la base lunga quanto la circonferenza e l'altezza uguale al raggio.

Pertanto possiamo affermare che:

Un cerchio è equivalente a un triangolo che ha la base lunga quanto la circonferenza e l'altezza uguale al raggio.

Ecco perchè l'area del cerchio si ottiene moltiplicando la misura della circonferenza per quella del raggio e dividendo per due il prodotto ottenuto.