Indice
Introduzione
La condizione di esistenza del triangolo
La struttura triangolare è indeformabile
Tracciamo un triangolo
Classificazione dei triangoli rispetto ai lati
Relazioni tra lati e angoli di un triangolo
Somma degli angoli interni di un triangolo
Classificazione dei triangoli rispetto agli angoli
Classificazione generale dei triangoli
Angoli esterni di un triangolo
Le altezze di un triangolo
Le mediane di un triangolo
Le bisettrici di un triangolo
Assi di un triangolo
Punti notevoli di un triangolo
I triangoli e la simmetria assiale
La simmetria rotazionale del triangolo equilatero
Il triangolo rettangolo e le sue proprietà
Uguaglianza di triangoli
Primo criterio di uguaglianza
Secondo criterio di uguaglianza
Terzo criterio di uguaglianza
Criteri di uguaglianza dei triangoli rettangoli
Triangoli equivalenti
Area di un triangolo
Teorema di Pick
Triangoli equivalenti per scorrimento
Trasformazione di un poligono in un triangolo equivalente
Equivalenza di un trapezio e di un triangolo
Somma di triangoli di uguale altezza
Equivalenza di un poligono regolare e di un triangolo
Equivalenza di un poligono circoscritto e di un triangolo
Equivalenza tra un cerchio e un triangolo
Triangolo equivalente a un triangolo con data altezza
Da un poligono a un rettangolo equivalente
Triangoli isoperimetrici
Il perimetro dei triangoli equivalenti
Proprietà duali
Perimetro e area
Massimo e minimo
Circonferenze inscritte e circoscritte nei triangoli
Triangoli simili
Primo criterio di similitudine
Secondo criterio di similitudine
Terzo criterio di similitudine
Proprietà dei triangoli simili
Triangoli omotetici
Triangoli simili in un triangolo rettangolo
Primo teorema di Euclide
Secondo teorema di Euclide
Teorema di Pitagora
Estensione del teorema di Pitagora
Triangoli particolari
Risoluzione di un triangolo rettangolo
Triangolo aureo
Triangolo di Sierpinski
Triangoli Eroniani
Teorema di Ceva
Il cerchio dei nove punti
Teorema di Napoleone Bonaparte
Teorema di Morley
Excentro
Equivalenza tra un cerchio e un triangolo
Consideriamo un poligono regolare inscritto in una circonferenza, per esempio un triangolo equilatero.
Supponiamo di aumentare successivamente i lati del poligono regolare, raddoppiandone il numero.
Si intuisce che, al crescere del numero dei lati, l'area del poligono regolare inscritto fornisce una approssimazione (per difetto) sempre migliore dell'area del cerchio. Possiamo quindi avere un poligono regolare inscritto, con un numero di lati talmente grande che la differenza tra la superficie del cerchio e quella del poligono regolare risulti minore di una superficie scelta a piacere, per quanto piccola essa sia. Contemporaneamente, i perimetri e gli apotemi dei poligoni regolari inscritti differiscono, rispettivamente, sempre meno dalla circonferenza e dal raggio. Sappiamo che ogni poligono regolare è equivalente a un triangolo, con la base uguale al perimetro e altezza uguale all'apotema del poligono.
Ora se, al crescere dei numeri dei lati, l'estensione dei poligoni regolari inscritti si approssima sempre di più al cerchio, ne segue che i triangoli ad essi equivalenti si approssimano sempre di più al triangolo che ha la base lunga quanto la circonferenza e l'altezza uguale al raggio.
Pertanto possiamo affermare che:
Un cerchio è equivalente a un triangolo che ha la base lunga quanto la circonferenza e l'altezza uguale al raggio.
Ecco perchè l'area del cerchio si ottiene moltiplicando la misura della circonferenza per quella del raggio e dividendo per due il prodotto ottenuto.
