Indice
Introduzione
La condizione di esistenza del triangolo
La struttura triangolare è indeformabile
Tracciamo un triangolo
Classificazione dei triangoli rispetto ai lati
Relazioni tra lati e angoli di un triangolo
Somma degli angoli interni di un triangolo
Classificazione dei triangoli rispetto agli angoli
Classificazione generale dei triangoli
Angoli esterni di un triangolo
Le altezze di un triangolo
Le mediane di un triangolo
Le bisettrici di un triangolo
Assi di un triangolo
Punti notevoli di un triangolo
I triangoli e la simmetria assiale
La simmetria rotazionale del triangolo equilatero
Il triangolo rettangolo e le sue proprietà
Uguaglianza di triangoli
Primo criterio di uguaglianza
Secondo criterio di uguaglianza
Terzo criterio di uguaglianza
Criteri di uguaglianza dei triangoli rettangoli
Triangoli equivalenti
Area di un triangolo
Teorema di Pick
Triangoli equivalenti per scorrimento
Trasformazione di un poligono in un triangolo equivalente
Equivalenza di un trapezio e di un triangolo
Somma di triangoli di uguale altezza
Equivalenza di un poligono regolare e di un triangolo
Equivalenza di un poligono circoscritto e di un triangolo
Equivalenza tra un cerchio e un triangolo
Triangolo equivalente a un triangolo con data altezza
Da un poligono a un rettangolo equivalente
Triangoli isoperimetrici
Il perimetro dei triangoli equivalenti
Proprietà duali
Perimetro e area
Massimo e minimo
Circonferenze inscritte e circoscritte nei triangoli
Triangoli simili
Primo criterio di similitudine
Secondo criterio di similitudine
Terzo criterio di similitudine
Proprietà dei triangoli simili
Triangoli omotetici
Triangoli simili in un triangolo rettangolo
Primo teorema di Euclide
Secondo teorema di Euclide
Teorema di Pitagora
Estensione del teorema di Pitagora
Triangoli particolari
Risoluzione di un triangolo rettangolo
Triangolo aureo
Triangolo di Sierpinski
Triangoli Eroniani
Teorema di Ceva
Il cerchio dei nove punti
Teorema di Napoleone Bonaparte
Teorema di Morley
Excentro
Classificazione generale dei triangoli
Abbiamo visto che i triangoli possono essere classificati, rispetto ai lati, in scaleni, isosceli e equilateri e, rispetto agli angoli, in ottusangoli, rettangoli e acutangoli. Da un confronto tra queste due classificazioni possiamo ottenere ulteriori informazioni:
I triangoli equilateri, avendo tre lati uguali hanno anche i tre angoli uguali che devono essere necessariamente acuti. Perciò i triangoli equilateri sono sempre acutangoli. Quindi i triangoli equilateri appartengono sia alla famiglia dei triangoli isosceli, sia alla famiglia dei triangoli acutangoli.
I triangoli isosceli non equilateri, avendo due lati uguali hanno anche due angoli uguali che devono essere necessariamente acuti. Il terzo angolo può essere sia acuto, sia retto, sia ottuso. Pertanto i triangoli isosceli possono essere acutangoli, rettangoli o ottusangoli.
I triangoli scaleni, avendo tre lati diversi hanno anche tutti e tre gli angoli diversi. Pertanto i triangoli scaleni possono essere acutangoli, rettangoli o ottusangoli.
Da queste considerazioni, sui vari tipi di triangoli, emerge che se vogliamo stabilire con precisione a quale famiglia appartiene un dato triangolo è necessario attribuirgli due nomi: uno in relazione ai lati, e l'altro in relazione agli angoli. Ad esempio, se un triangolo ha due lati uguali e un angolo retto allora diremo che è un triangolo isoscele rettangolo. In questo modo i triangoli vengono classificati rispetto ai lati e agli angoli contemporaneamente.
Questa classificazione può essere rappresentata anche con il solito diagramma di Venn:
